Тема АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ФОРМЫ И НАТЯЖЕНИЯ ГИБКИХ НИТЕЙ.

Рис. 4

Гибкая нить под действием сил тяжести и гидродинамического сопротивления.Большинство орудий промышленного рыболовства представляет собой пространственные сетные конструкции, оснащенные системой канатов. Для расчета формы и нагрузок, возникающих в канатах, последние рассматриваются как гибкие нити, определенным образом закрепленные и находящиеся под действием внешних сил. При определении формы и нагрузок сетных элементов орудий используются расчетные схемы, в которых сети также заменяются гибкими нитями. Для этого из сети двумя вертикальными (или горизонтальными) сечениями вырезается элементарная полоска, свойства которой аналогичны свойствам гибкой нити. Для расчета деталей орудий лова в ви­де гибких нитей используется ряд типовых расчетных схем. Одна из них имеет вид, показанный на рис. 4.

Дифференциальные урав­нения, описывающие форму гиб­кой нити и усилий в ней, имеют вид

где Т — натяжение нити в рассматриваемой точке; S — длина ни­ти; q — вес в воде нити единичной длины; a — угол, образованный касательной к нити в рассматриваемой точке и горизонталью; R_t, R_n — касательная и нормальная составляющие силы сопротивления нити единичной длины.

Если нагрузка в нижней точке нити D равна нулю (T₀ = 0), то нить примет форму прямой линии, находящейся под углом а к вектору v. Значение угла a в этом случае называется предельным и обозначается a_Пред.

Гибкая нить сохраняет прямолинейную форму, если составляю­щие усилия Т₀, приложенного к нижнему концу, находятся в соот­ношении

To_yJT_0x=tga_Пpeд (3.2)

Таким образом, гибкая нить, закрепленная в верхней точке и находящаяся под действием сил тяжести и гидродинамического давления воды, может принять форму: прямой линии при условии aо = a= a_Пpeд;(3.3)

кривой, обращенной выпуклостью вниз, при условии aо < a< a_Пpeд; (3.4)

кривой, обращенной выпуклостью вверх, при условии aо > a> a_Пpeд. (3.5)

Угол атаки нити прямолинейной формы вычисляется по фор­муле

с — коэффициент сопротивления ваера, расположенного перпен­дикулярно вектору скорости (с≈1,1); d — диаметр троса.

Нить, обращенная выпуклостью вниз (см. рис. 4), схематизи­рует форму ваера. Если пренебречь малой величиной тангенциаль­ной составляющей полного давления воды (R_x = 0), то координаты любой точки нити (ваера) вычисляются по формулам:

(3.7)

В выражениях (3.6,б) и (3.7) приняты следующие обозначения:

По формуле (3.6,6) вычисляется горизонт хода Y_А нижнего кон­ца ваера. По формуле (3.7) — расстояние по горизонтали Х_А меж­ду судном и траловой доской.

Угол атаки а любого элемента нити (ваера), в том числе в точке А крепления ваера на судне, находится по формуле

Длина гибкой нити (ваера) находится из выражения

Натяжение в нижней точке D гибкой нити (ваера) находится как

T₀ = T²оx, + T²oу. (3.20)

При расчете характеристик ваера составляющие усилия Т₀ определяются по формулам:

Тох=0,5(Rс.ч+Rос) +Rхд; (3.21)

Т₀у= (G_Д,+G_осн)-N_ГP (3.22)

где Rсу — сопротивление канатно-сетной части трала, Н; R₀c— сопротивление оснастки подбор трала, Н; R_XД — лобовое сопротив­ление траловой доски, Н; G_осh — половина веса оснастки трала в воде, Н; в_я — вес траловой доски в воде, Н; N_ГР — реакция грун­та при движении донной траловой доски по грунту [приближенно равно (0,4-0,7) G_д].

Усилие в любой точке нити (ваера) без учета действия тан­генциальной составляющей давления воды определяется выраже­нием

T = T₀+qy.

(3.23)

При длине ваера более 1000 м необходимо учитывать влияние сил R_x и для расчета усилия в верхней точке ваера вместо (3.23) использовать формулу

T = T₀+qy + R_xS. (3.24) Рис.5

Сила сопротивления ваера при движении в воде находится из выражения

R_b=Tcosa— T_Ocosa_O. (3.25)

Ваер может состоять из нескольких частей, отличающихся ве­сом и диаметром троса. Расчетная схема для составного ваера показана на рис. 5.

Характеристики ваера в этом случае определяются поэтапно. На первом этапе рассчитываются характеристики участка ваера 00₁ для чего в качестве начальных условий ис­пользуются значения силы Т₀ и угла a_O. По формулам (3.7) и (3.6,б) находятся координаты точки 0₁ — x₁ и y₁ по формуле (3.16) рас­считывается значение угла a₁ по формуле (3.17)—длина первого участка ваера S₁ по формулам (3.23) или (3.24)—усилие Т₁ в точке ваера O₁. На втором этапе рассчитываются характеристики участка ваера O₁А. При этом начальными условиями являются: Т₀=Т₁ и a₀= a. По указанным формулам для второго участка на­ходятся значения х₂, у₂, a₂, S₂, Т₂. Характеристики составного вае­ра определяются как:

x_A=x₁+ x₂; (3.26)

y_а=y₁ + y₂; (3.27)

S = S₁ + S₂. (3.28)

Сопротивление составного ваера

R_B = T₂cosa₂—T_осоsа_о . (3.29)

Гибкая нить, обращенная выпуклостью вниз, схематизирует также форму сети, нижняя подбора которой закреплена на грунте.

С помощью гибкой нити, обращенной выпуклостью вверх, схе­матизируется форма деталей орудий лова, как, например, кабель сетного зонда или сеть, закрепленная у поверхности воды за верх­нюю подбору.

Замена цепной линии параболой. Для упрощения расчетов цеп­ную линию часто заменяют параболой. Гибкая нить принимает форму параболы, если внешние силы равномерно распределены по ее хорде (проекции АВ на рис. 6).

Уравнение параболы имеет вид

y=x²/2р (3.43)

или

, x=p·tga. (3.44)

Длина нити, имеющей форму параболы, от вершины до точки закрепления (ОА на рис. 20) приближенно может быть определе­на из выражения

Половина хорды нити вычисляется в этом случае по формуле

Рис. 6 (3.46)

Горизонтальная составляющая натяжения Т₀ в нити, имеющей форму параболы, находится как

T_O = qL²/2f. (3.47)

Натяжение Т в гибкой нити, как и ранее, определяется на ос­новании зависимости (3.23).

Если точки закрепления нити расположены на разных уровнях, то значение горизонтальной составляющей натяжения Т₀ зависит от взаимного расположения вершины нити и точек ее подвеса. Возможны три варианта такого взаимного расположения. Если вершина С находится между точками подвеса (рис. 7), то значение Т₀ будет минимальным и находится по формуле

Если воображаемая вершина нити находится вне точек подвеса, то значение Т₀ будет максимальным и определяется по фор­муле

Третий вариант имеет место, когда одна из точек подвеса совмещена с вершиной кривой. Тогда Т₀ принимает среднее значение и подсчитывается из выражения

ToСР = 2∙g∙a/y. (3.50) Силы натяжения Т в точках подвеса (рис. 7) определяются по формулам: (3.51) . (3.52) Если для нити, точки подвеса которой находятся на разном уровне, заданными являются значения горизонтальной состав­ляющее натяжения Т0, внешней нагрузки q, разницы абсцисс точек подвеса 2а и ординат 2b, то координаты точек подвеса, соответствующие этим значениям, могут быть вычислены по формулам:

Рис. 7

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Учет растяжения гибкой нити.Реальные нитки, веревки и канаты существенно растягиваются под воздействием внешней нагрузки, в связи счем возникающие в них усилия будут несколько меньше расчетных, а прогиб — больше расчетного.

С учетом растяжения гибкой нити (форма которой соответствует параболе) горизонтальная составляющая натяжения Т₀ и стрелка прогиба f находятся из выражений:

где s—относительное удлинение нити под нагрузкой.

Q = 2qL: (3.59)

Зависимость e=f/(T) определяется свойствами материала, из которого изготовлена нить.

Стальные канаты подчиняются закону Гука, поэтому для них

e=Т/EF; (3.60)

где Е — модуль упругости стального каната, Н/м²; F — площадь поперечного сечения каната, м².

С учетом (3.60) для стальных канатов вместо выражений (3.57) и (3.58) следует использовать:

Для растительных канатов (пеньковых) можно принять

(3.63)

В связи сэтим выражения для расчета горизонтальной составляющей натяжения в канате и стрелки прогиба принимают вид:

; (3.64)

. (3.65)

Гибкая нить под действием сосредоточенных сил.Если к гибкой нерастяжимой нити приложена одна сосредоточенная сила R, а точка ее приложения может перемещаться (внешняя сила приложена к кольцу, через которое проходит канат), то без учета сил трения (между кольцом и канатом) натяжения Т в ветвях нити будут одинаковыми и вычисляются по формуле

, (3.66)

где b — угол между ветвями каната.

С учетом сил трения натяжения в ветвях нити отличаются на величину силы трения. Если нить растягивается под действием со­средоточенной силы, то натяжения в ветвях снижаются по сравнению с результатом расчета по формуле (3.66). Для определения силы натяжения в этом случае необходимо знать зависимость s = f(T) для материала, из которого изготовлена рассматриваемая нить.

Гибкая нерастяжимая нить, находящаяся под действием нескольких сосредоточенных сил R₁, R₂..., различных по величине и направлению, принимаем форму многоугольника. Если точки приложения сил имеют возможность перемещаться, то без учета сил трения натяжения во всех ветвях нити будут одинаковыми и вычисляются по формуле где b₁ b₂,. — углы между соответствующими ветвями каната

, (3.67)

Пояснение по решению задач.

Задача 3.8 [1]

Поскольку на трос действуют только распределённые по длине силы, то он принимает в воде прямолинейную форму. Угол атаки определяется по формуле 3.6.

3.23[1]

Усилие в точке крепления стояночного вожака к судну определяется только силой тяжести вожака и рассчитывается по формуле 3.23.

Задача 3.37[2]

По формуле 3,23 определяется натяжение Т_О в нижней точке ваера.

По формуле 3.40 определяется длина ваера S.

По формуле 3.39 определяется расстояние до судна.

Задача 3.122 [1]

Натяжение Т определяется как гипотенуза при катете равном R/2. Значение прилежащего угла узнать из фигуры, образованной оттянутой частью троса и расстоянием между роликами.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяются усилия в нитях, нагруженных сосредоточенными силами.

2. В каких случаях нить нагруженная распределённой силой принимает форму тяжелой нити? Как определить её форму и натяжение?

3. В каких случаях нить нагруженная распределённой силой принимает форму параболы? Как определить её форму и натяжение?

4. Опишите метод определения натяжения в ваере.

Тема ГРАФОСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ФОРМЫ И НАТЯЖЕНИЯ ГИБКИХ НИТЕЙ, КАНАТОВ И СЕТЕЙ

Форма и натяжение гибкой нити под действием одной сосредо­точенной внешней силы.Если к гибкой нерастяжимой и невесомой нити, закрепленной в двух точках, приложена внешняя сила R, ве­личина и направление которой известны, а точка приложения не­подвижна (закреплена) то натяжение в ветвях нити находится графическим построением.

Пример 1. Канат 0₁А0₂ длиной 10,8 м закреплен в двух точках, находящихся на одном уровне на расстоянии 10 м (рис. 8). В центре каната висит кольцо А, к которому приложена сила R, равная 200 Н. Коэффициент трения кольца по канату f=0,5. Определить, при каком угле b между направлением силы R и вертикалью кольцо начнет скользить по канату. Найти величину сил натяжения в ветвях каната.

Решение. Для изображения каната на чертеже (рис. 34) выберем линейный масштаб, равный 0,01. В этом масштабе отложим за­данное расстояние между точками закрепления нити O₁и О₂. Из полученных точек раствором циркуля, равным в масштабе 5,4 м, сделаем засечки, определив тем самым положение кольца А. Точку А соединим с точками О₁и О₂. Выберем масштаб сил, приняв силу R равной отрезку CD.

Рис. 8

Натяжение в ветвях нити отличается на величину силы трения, т. е.

На линии действия силы Т₂ (АО₂) от точки А отложим величину силы трения, равную 100 Н. Из точки В раствором циркуля, равным R, сделаем засечку на вер­тикали. Из полученной точки Е проводим луч, параллельный отрезку АО₁ до пересечения с продолжением отрезка О₂А. Треугольник AFE по построению равно­бедренный, в котором AF = FE = T₁. Тогда очевидно, что в полученном силовом треугольнике FBE имеем: FB = T₂ и BE = R. Угол b непосредственно снимается с чертежа и равен 30°. Таким образом, при b ≤30° кольцо останется в покое, при b>30° оно начнет пере­мещаться по канату влево. Для определения натяжений в ветвях каната измерим отрезки EF и FB.

С учетом принятого силового масштаба получим: T₁ = 180 Н и T₂=280Н.

Форма и натяжение гибкой нити под действием нескольких сосредоточенных или распределенных сил.Когда кгибкой нерастяжимой и невесомой нити приложено несколько сосредоточенных сил, точки приложения которых закреплены, то ее форма и натяжение в ветвях находятся путем построения силового и веревочного многоугольника. К такой категории задач относится, например, определение формы и натяжения секции, хребтины яруса, находящейся под воздействием нескольких попавших на крючок рыб.

Пример 2. Судно стоит на якоре, отдав 100 м цепного каната, сила веса в воде 1 м которого равна 100 Н (рис. 9). Ветровое сопротивление судна составляет 8000 Н. Глубина места стоянки судна на якоре равна 60 м. Определить форму каната, натяжения в верхнем и нижнем его концах и их горизонтальные и вертикальные составляющие.

Решение. Назначим силовой масштаб, в соответствии с которым отрезок АВ равен 1000 Н (рис. 10). Направление силы ветрового сопротивления судна R го­ризонтально, поэтому на горизонтальной линии отложим отрезок Рс, равный в масштабе 800 Н. Вес цепного каната в воде составит

G = 100·100=10 000 H.

Направление силы G вертикально, поэтому из точки с восстановим перпендикуляр и на нем отложим отрезок сО, равный в масштабе 10 000 Н. Силы натяжения на концах цепного каната нам неизвестны, поэтому отсутствуют основания для однозначного выбора полюса. Вместе с тем задана длина цепного каната, что позволяет получить единственное решение путем осуществления последовательных приближений.

Рис.9 Рис.10

В первом приближении примем, что направление усилия в нижней точке каната горизонтально, и назначим полюсом точку Р. Соединив ее с точкой О, получим силовой треугольник РОс. Примем линейный масштаб равным 0,001. Цепной канат разделим на 10 равных частей по 10 м каждая. Вес участка каната в воде составит 1000 Н. В соответствии с этим разделим отрезок Ос также на 10 частей. Получим отрезки On, nm, ml, ...,dc, представляющие собой силы веса участков каната в воде. Соединим точки п, т,..., d с полюсом Р прямыми линиями. Полученные отрезки определяют по величине и направлению усилия в соответствующих участках цеп­ного каната.

Из точки O₂ (рис. 10) проведем луч, параллельный отрезку РО, и отложим на нем половину участка каната, так как первая ветвь веревочного многоугольника ограничивается линией действия результирующей сил веса первого участка каната, проходящей через его центр. Из полученной точки N проводим луч, паралтельный отрезку Рп, на котором откладываем в масштабе полную длину участка каната 10 м, равную рас­стоянию между 1-й и 2-й результирующей сил веса на участках. Из полученной точки М проводим луч, параллельный отрезку Рт, на котором также откладываем 10-метровую длину участка каната. Таким образом, продолжаем построение, последовательно получая точки L, К, Н,..., С. Из точки С проводим луч, параллельный отрезку Рс, на котором откладываем половину последнего участка, равную 5 м. Таким образом, ломаная О₂NML ... O′, определяющая в первом прибли­жении форму каната, по построению равна его длине, т. е. 100 м. Однако ордината точки О', как видно из рис. 36, меньше заданной глубины 60 м. Это свидетельствует о необходимости изменить положение полюса, причем следует обеспечить выполнение двух условий: горизонтальная составляющая R натяжения в нижней точке каната должна остаться прежней и равной 8000 Н, для достижения глубины 60 м ветви веревочного многоугольника должны быть расположены более круто. Учитывая сказанное, переносим полюс по вертикали вниз в точку Р₁. Строим силовой треугольник во втором приближении, для чего точку P₁ соединяем с точ­ками О, п, т,..., с. Далее во втором приближении осуществляем построение веревочного многоугольника, выполняя те же операции, что и в предыдущем случае. Получаем ломаную О₂N₁M₁L₁... О′₁, равную в масштабе 100 м. Как и ранее, ордината точки О₁ не равна 60, что говорит о необходимости продолжить приближения.

В третьем приближении переносим полюс по вертикали вниз в точку Р₂ и соединяем ее с точками О, п, т,..., с. Осуществляем построение веревочного много­угольника ON₂M₂... О′₂. Как видим, ордината точки О′₂ равна 60 м, что и требовалось по условию задачи.

Таким образом, форма цепного каната соответствует кривой, вписанной в ломаную O₂N₂M₂L₂ ... О′₂. Натяжение в верхней точке цепного каната определяется отрезком Р₂О. Измерив его и учтя масштаб сил, получим Т=14,3 кН. Горизонтальная составляющая этой силы равна R, т. е. 8 кН. Вертикальная составляющая Т_Y снимается с чертежа на рис. 10 и равна 12 кН. Сила натяжения нижнего конца каната определяется отрезком Р₂с. Получаем T₀ = 8,2 кН. Горизонтальная составляющая Т_0х также равна R, т. е. 8 кН. Вертикальная составляющая Т_0Y, стремящаяся оторвать якорь от грунта, определяется отрезком Р₂Р. Получаем Т_0Y = 2кН.

Пример 3. Ставная сеть установлена на грунте в водоеме глубиной 5 м. Нижняя подбора закреплена на дне балластом. Верхняя удерживается на поверхности силой плавучести оснастки верхней подборы и наклонной оттяжкой (рис. 11). Пренебрегая влиянием натяжения в наклонной оттяжке, определить потребную высоту сети для обеспечения ей симметричной формы. Гидродинамическое сопротивление сети на 1 м ее длины R в результате воздействия течения составляет 100 Н, сила плавучести оснастки верхней подборы (на 1 м длины) Q = 40 H.

Решение. Допустим, что отрезок АВ соответствует силе 10 Н (рис. 12, а). Будем полагать, что сила гидродинамического давления воды, воздействующая на полоску сети шириной 1 м, равномерно распределена по ее хорде и направлена ей перпендикулярно (как это показано на рис. 11). Разобьем хорду длиной 5 м на пять равных частей и к центру каждой из них приложим результирующую распределенной нагрузки, равную 20 Н.

Рис. 11 Рис.12

Строим силовой треугольник (рис. 12). Для этого из точки а последовательно откладываем по одной пря­мой (так как мы приняли, что на полоску сети действует система параллельных сил) результирующие сил гидродинамического давления воды на участки хорды П, г_2у г₃, г₄, г₅. Отрезок af определяет полное давление воды R на сеть. Для определения полюса воспользуемся следующими соображениями. Так как форма по­лоски должна быть симметрична, то следует полагать, что в точках закрепления полоски А и В (см. рис. 11) приложены силы R/2. Из условия равновесия узла А следует, что топящая сила Т₀ равна силе плавучести Q. Поэтому из центра отрезка af (точка К на рис. 12, а) восстанавливаем перпендикуляр, на котором отклады­ваем величину Q. Получаем положение полюса Р. Соединяем точку Р с точками а, Ъ, с, d, e, f. Отрезки Ра и Pf силового треугольника определяют величину и на­правление реакций в точках закрепления полоски, отрезки Pb, Pc, Pd и Ре — натяжения в соответствующих участках сети.

Для построения веревочного многоугольника выберем линейный масштаб равным 0,01. Пятиметровый отрезок AG разделим на пять равных частей и через центр каждой проведем линии действия сил r_if i=l, 2, 3, 4, 5 (рис. 12, б). Из точки А проведем луч, параллельный отрезку Ра, до пересечения с линией действия силы г_ь Из полученной точки В проведем луч, параллельный отрезку РЬ силового треугольника, до пересечения с линией действия силы г₂ и т. д. до получения формы по­лоски сети в виде ломаной ABCDEFG. Измерив длину этой ломаной и учтя линейный масштаб, получим, что потребная высота сети должна быть равна 6 м.

Если бы в условиях задачи была задана не глубина водоема, перекрываемая сетью, а ее высота, то для определения формы сети построение веревочного много­угольника необходимо осуществить следующим образом (рис. 12, в). Разделим заданную высоту на пять равных частей. Из точки А\ проведем луч, параллельный отрезку Ра силового треугольника, и на нем отложим половину длины участка сети. Из полученной точки В\ проведем луч, параллельный отрезку РЬ, и на нем отложим длину участка и т. д. до получения формы полоски сети в виде ломаной A_XB_XC_XD_XE_XF_XG_X. То­гда отрезок A_XQ_X определит (в масштабе) часть глубины водоема, которую перекроет сеть заданной высоты.

Пример 4. Канат длиной 60 м буксируют по дну за один конец. В некоторый момент времени он принял форму, показанную на рис. 13 в виде кривой АВ. Вес 1 м каната в воде 20 Н, коэффициент трения каната по грунту 0,5. К левому концу каната (точка А) приложена нагрузка, равная 400 Н. Пренебрегая гидродинамическим сопротивлением каната в воде, .определить буксировочное усилие, приложенное в точке В, и направление внешних сил, под действием ко­торых он принял указанную форму.

Рис.13

Решение. Разобьем канат на шесть равных частей. Отметим центр каждой части точками С, D, E, F, G, К. Будем считать, что в этих точках приложены равнодей­ствующие внешних сил, распределенных по длине участков. Заменим кривую АВ ломаной ACDEFGKB.

Так как гидродинамическим сопротивлением каната по условию задачи можно пренебречь, то внешними силами являются силы трения. На каждый участок каната действует сила трения, равная 20-10-0,5= 100 Н. Примем, что отрезок LM на рис. 13 соответствует 100 Н. Из произвольного полюса Р проведем пучок лучей, каждый из которых параллелен соответственно отрезкам AC_f CD, DE, EF, FG, GK и КВ. На первом луче в принятом силовом масштабе отложим силу 400 Н, приложенную к точке А. Из полученной точки с раствором циркуля, равным отрезку LM (величина силы трения, приложенная к каждому участку каната), делаем засечку на соседнем луче и получаем точку d. Из последней тем же раствором циркуля делаем засечку на следующем луче, получая точку е. Таким образом продолжаем построение, отмечая точки f, g, k и п и соединяя их прямыми линиями. Отрезок Рп характеризует величину и направление искомой силы Т₂, приложенной к концу каната В. Измерив отрезок Рп и учтя масштаб, получим Т₂ = 820 Н. Отрезки Pd, Pe, Pf, Pg, Pk характеризуют величину и направление соответствующих участков каната. Для определения направления результирующих сил трения, действующих на каждый участок каната, из точек С, D, E, F_f G, К проведем лучи, параллельные отрезкам соответственно cd, de, ef, fg, gk, kn. Эти лучи, отмеченные на рис. 13 цифрами 1, 2, ..., 6, показывают направление системы внешних сил, под действием которых канат принял форму ломаной ACDEFGKB.

Подобными построениями, например, может быть определена форма урезов донного невода в процессе их выборки (или буксировки невода).

Вопросы для самоконтроля

1.Опишите порядок построения формы цепной линии.

2.Опишите порядок построения формы сети нагруженной силой сопротивления.

3.Опишите порядок построения формы уреза, буксируемого по грунту.\

Литература: [1], стр. 69-75.