Приближение вещественных чисел рациональными.
Как уже сказано выше, рациональных чисел счетное множество, а вещественных – континуум, то есть гораздо больше. Но есть некоторые свойства рациональных чисел, которые позволяют заменять вещественные числа рациональными.
Теорема 1. Для любого вещественного числа а и для любого найдутся два рациональных числа r1 и r2, такие, что:
а) б)
.
(Обратите внимание, как может быть записана формулировка этой теоремы:
Правда, короче?)
Доказательство.
Возьмем любое . Так как по смыслу
мало, то пусть оно имеет вид:
Рассмотрим число
, равное, очевидно
. Пусть а>0. Распишем его:
Предположим, что n–ая цифра после запятой . Рассмотрим числа
Тогда можно сказать, что
а) r1 и r2 - рациональные числа, так как у обоих из них бесконечные «хвосты» из девяток;
б) , так как
;
в) , так как у r2 после an все девятки, а у числа а хотя бы одна цифра не будет девяткой.
г) , так как у e на n-м месте стоит en, а у разности
на n-ом месте стоит
.
Тем самым, построенные числа r1 и r2 удовлетворяют всем условиям теоремы. <
Подумайте сами, что надо изменить в доказательстве, если окажется, что .
Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел a и b, не равных друг другу, найдется такое рациональное число r, которое будет расположено между ними.
( веществ. а, b а ≠ b
рацион. r a<r<b)
Доказательство.
1. Пусть для определенности а<b и а>0. Тогда числа а и b имеют вид:
Так как а<b, то найдется такая цифра с номером n, что
но
(то есть
).
В числе b после n-й цифры могут быть нули, но бесконечного «хвоста» из нулей быть не может, это запрещено. Поэтому b обязано иметь вид
где bp – первая цифра после следующей за bn серии нулей, такая, что (то есть
).
Возьмем r в виде
Тогда ясно, что
а) r – рациональное число, так как у него бесконечный «хвост» из девяток;
б) а < r, так как аn < bn.
в) r < b, т.к. (bp-1) < bp.
Построение r удовлетворяет всем требованиям нашей теоремы.
2. Пусть теперь а<0 и b>0. Тогда можно взять r = 0.
3. Пусть, наконец, a<0, b<0 и b < a. Тогда |a| < |b| и, согласно п.1, найдется такое рациональное число r, что |a| < r< |b|. Но тогда b < -r < a. Теорема доказана.<
Указанные две теоремы образуют то, что математики называют «плотностью» рациональных чисел относительно множества вещественных чисел. Это свойство плотности играет важную роль в доказательстве целого ряда теорем.
Терминология. Неравенства.
В заключение этого раздела уточним еще раз некоторые термины.
Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a£x£ b, называется замкнутым отрезком и обозначается [a, b].
Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a<x<b, называется открытым отрезком и обозначается (a, b).
Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a<x£ b (или a£ x<b), называется полуоткрытым отрезком и обозначается (a, b] (соответственно [a, b)).
Модулем |x| числа х называется это же число, взятое со знаком «+». Очевидно, что всегда
-| x | £ x £ | x |
Важнейшее в дальнейшем для нас неравенство выглядит так: | x + y | £ | x | + | y |. Докажем его.
Имеем: -| x | £ x £ | x |; -| y | £ y £ | y |.
Складывая эти неравенства получим:
- (| x | + | y |) £ x + y £ | x | + | y |,
откуда и следует, что | x + y | £ | x | + | y | <
Отметим еще, что | x – y | £ | x | + | y |. Попытка записать это неравенство в виде
| x – y | £ | x | - | y | является грубейшей ошибкой. Никогда не допускайте ее!
Отметим еще, что неравенство эквивалентно такой цепочке:
.
Действительно, из следует, что
, так как
и
. Прибавляя ко всем частям этой цепочки неравенств число а, получим
.
Итак, запомните эквивалентную запись:
.
Она будет основной в следующем разделе.
Открытый промежуток называют «e-окрестностью» числа а (или «e-окрестностью» точки а).