Существенность ограничений теоремы.

В этой теореме также два ограничения - непрерывность функции и замкнутость отрезка [a, b]. Покажем на примерах, что отказ от любого из этих ограничений приводит к тому, что теорема становится неверной.

1. Непрерывность функции.

Рассмотрим функцию , называемую дробной частью числа х. Ее график приведен на рисунке. Ясно, что супремум этой функции равен 1, но он нигде не достигается.

2. Замкнутость отрезка.

Рассмотрим функцию и пусть . В этом случае , но этот супремум не достигается, так как точка (см. рис.).

3.5 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Разберем теперь важное и сложное понятие равномерной непрерывности функции.

Пусть имеется функция f(x), которая непрерывна на некотором множестве Х. Вспомним, что это означает: это означает, что f(x) непрерывна в каждой точке этого множества и записывается так:

.

Обратим внимание на величину d, стоящую после квантора . От чего она зависит?

Общее правило гласит, что величина, стоящая после квантора зависит от всех величин, которые стоят после кванторов , которые расположены впереди квантора . В данном случае перед d стоят два квантора . Поэтому d зависит от e и, и это самое главное, от х₀, то есть d=d(e,x₀).

Так вот, эта зависимость d от х₀ очень сильно мешает при доказательстве многих теорем. Хотелось бы, чтобы d зависело только от e и не зависело от х₀, то есть d было бы одинаково пригодно для всех х₀Î Х. Это желание избавиться от зависимости d от х₀ и приводит к понятию равномерной непрерывности.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве Х, если

.

Обратите внимание на то, куда преместился квантор . Теперь он стоит после квантора и поэтому d зависит теперь только от e, и не зависит от х₀. Это местоположение квантора и есть главное в понятии равномерной непрерывности f(x) на множестве Х.

А теперь докажем достаточно сложную теорему о равномерной непрерывности f(x).

Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

.

Противоположное утверждение:

.

1. Построение последовательностей.

Возьмем то e>0, которое, согласно противоположному утверждению, «существует».

Возьмем любую последовательность d_n, которая монотонно убывает до нуля, то есть

d₁>d₂>d₃>…d_n®0, при n ®¥.

Тогда для каждого d_n

.

Перебирая все d_n мы получим две последовательности {x_n} и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей. Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена, так как a£x_n£b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , то есть для которой . Заметим, что cÎ[a, b] в силу замкнутости [a, b].

А что можно сказать о подпоследовательности ? Так как , то

.

Но так как а то по теореме «о двух милиционерах» отсюда следует, что также , то есть подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

.

Переходя к пределу k®¥ и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

,

.

В силу непрерывности f(x) , так что получаем, что

,

то есть получаем, что e£0. Это противоречит квантору , где e строго больше 0. <

Монотонные функции.

Докажем теперь две теоремы, касающиеся непрерывности монотонных функций.

Теорема 1. Пусть f(x) определена и монотонна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она может иметь на этом отрезке только разрывы I рода (скачки).

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

Возьмем какую-то точку x0 Î[a, b]. Пусть мы приближаемся к точке х0 слева (см. рис.). Тогда при этом значения функции f(x) будут монотонно возрастать. Но они будут ограничены сверху, например, величиной f(x0). Поэтому, по теореме о пределе монотонно возрастающей функции будет существовать конечный . При движении к х0 справа значения f(x) будут монотонно убывать, но будут ограничены снизу величиной f(x0). Поэтому снова существует конечный .

Если f(x₀+0) = f(x₀-0), то f(x) будет непрерывна в точке х₀, если же f(x₀+0)>f(x₀-0), то у f(x) в точке х₀ будет разрыв I рода. <

Определение. Говорят, что значения функции f(x), определенной на <a, b>, заполняют некоторый отрезок <c, d> сплошь, если

.

Теорема 2. Для того, чтобы монотонная функция f(x) была непрерывной на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы ее значения заполняли отрезок [f(a), f(b)] сплошь.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

1. Достаточность. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда , . Согласно второй теореме Больцано-Коши,

.

Поэтому отрезок [f(a), f(b)] заполнен сплошь.

2. Необходимость. При доказательстве необходимости в этой теореме используется достаточно редко применяемый прием. Он основан на следующем соотношении из алгебры логики

.

Вместо того, чтобы доказывать, что доказывают, что .

В нашем случае это выглядит так: вместо того, чтобы доказывать следование «функция заполняет некоторый отрезок сплошь Þ она непрерывна», доказывают следование «функция не непрерывна Þ ее значения не заполняют отрезок сплошь».

Итак: пусть f(x) не является непрерывной на [a, b]. Тогда она на [a, b] может иметь только разрывы I рода. Пусть х₀ – координата такого разрыва. Возможные варианты поведения графика f(x) изображены на рисунках.

Из них видно, что в этом случае отрезок [f(a), f(b)] заполнен не сплошь. <