Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии».
Пусть x1, x2, …, xn – данные наблюдений над случайной величиной X. Средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины X называется частное от деления суммы всех этих значений на их число:
(1).
Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём , то, по определению,
(2).
Вычисленное по данной формуле среднее арифметическое называется взвешенным, так как частоты mi называются весами, а операция умножения xi на mi – взвешиванием.
Для интервального вариационного ряда за xi принимают середину i-го интервала, а за mi - соответствующую интервальную частоту:
(3).
Основные свойства среднего арифметического:
1. Среднее арифметическое алгебраической суммы соответствующих друг другу значений равна алгебраической сумме средних арифметических:
.
2. Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то среднее арифметическое всего ряда наблюдений равно взвешенному среднему арифметическому групповых средних, причём весами являются объёмы соответствующих групп:
.
3. Среднее арифметическое постоянной равно самой постоянной:
4. Постоянную можно выносить за знак среднего арифметического:
5. Сумма отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического равна нулю:
6. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число:
7. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.
Выборочной дисперсией значений случайной величины X называется средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:
(4).
Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём , то выборочная дисперсия определяется формулой:
(5).
Используя равенство , последнюю формулу можно представить в виде:
(6).
Дисперсия, вычисленная по формулам 5 и 6, называется взвешенной выборочной дисперсией.
Основные свойства выборочной дисперсии:
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
2. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия не изменится: .
3. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число С, то имеет место равенство:
.
4. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.
5. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной X и квадратом её среднего арифметического:
Пример 1.По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.
Индекс | i | |||||||
Число неправильных соединений в минуту | xi | |||||||
Частота | mi | |||||||
частость | 8/60 | 17/60 | 16/60 | 10/60 | 6/60 | 2/60 | 1/60 |
Решение.Среднее арифметическое вычислим по формуле 2:
Дисперсию вычисляем по формуле 5:
Пример 2.По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию диаметра валика.
Решение.Среднее арифметическое вычислим по формуле 3:
Дисперсию вычисляем по формуле 6: