Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии»

Пусть x1, x2, …, xn – данные наблюдений над случайной величиной X. Средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины X называется частное от деления суммы всех этих значений на их число:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru (1).

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru , то, по определению,

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru (2).

Вычисленное по данной формуле среднее арифметическое называется взвешенным, так как частоты mi называются весами, а операция умножения xi на mi – взвешиванием.

Для интервального вариационного ряда за xi принимают середину i-го интервала, а за mi - соответствующую интервальную частоту:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru (3).

Основные свойства среднего арифметического:

1. Среднее арифметическое алгебраической суммы соответствующих друг другу значений равна алгебраической сумме средних арифметических:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru .

2. Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то среднее арифметическое всего ряда наблюдений равно взвешенному среднему арифметическому групповых средних, причём весами являются объёмы соответствующих групп:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru .

3. Среднее арифметическое постоянной равно самой постоянной:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

4. Постоянную можно выносить за знак среднего арифметического:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

5. Сумма отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического равна нулю:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

6. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

7. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.

Выборочной дисперсией значений случайной величины X называется средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru (4).

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru , то выборочная дисперсия определяется формулой:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru (5).

Используя равенство Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru , последнюю формулу можно представить в виде:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru (6).

Дисперсия, вычисленная по формулам 5 и 6, называется взвешенной выборочной дисперсией.

Основные свойства выборочной дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

2. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия не изменится: Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru .

3. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число С, то имеет место равенство:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru .

4. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.

5. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной X и квадратом её среднего арифметического:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

Пример 1.По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.

Индекс i
Число неправильных соединений в минуту xi
Частота mi
частость Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru 8/60 17/60 16/60 10/60 6/60 2/60 1/60

Решение.Среднее арифметическое вычислим по формуле 2:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

Дисперсию вычисляем по формуле 5:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

Пример 2.По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию диаметра валика.

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

Решение.Среднее арифметическое вычислим по формуле 3:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

Дисперсию вычисляем по формуле 6:

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии» - student2.ru

Наши рекомендации