Особенностиалгебрыкакразделаматематики

Основное содержание школьной математики традиционно делят на арифметику, алгебру и геометрию. Исаак Ньютон назвал алгебру «всеобщей арифметикой». Алгебра, действительно возникла как обобщение арифметики. Современная алгебра это обобщение выве­ла на более высокий уровень обобщения. А вот та ее часть, которая изучается в школе, действительно является обобщением арифмети­ки — науки о числах и действиях с ними.

Одно из направлений такого обобщения — рассмотрение изучае­мого в начальной школе множества целых неотрицательных чисел как математической структуры. Напомним, математической структурой в математике называют множество с заданными на нем отношениями и операциями. Основными математическими структурами являются алгебраические структуры, структуры порядка и топологические структуры. Рассматриваемое в начальной школе множество целых неотрицательных чисел (натуральных чисел и нуля) с заданными на нем арифметическими действиями сложения и умножения явля­ется алгебраической структурой. Это же множество с отношениями «меньше (больше)» является структурой порядка. Поэтому при из­учении чисел и действий с ними есть возможность при обобщении сведений о числах рассматривать свойства множества натуральных чисел и нуля, отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям и отношениям, как это принято для рассмотрения мно­жества как математической структуры. Именно такое обобщение рассматривалось в гл. 7. Заметим, что это направление реализации алгебраической линии начального курса математики в методической литературе еще не было описано. Между тем оно хорошо работает

на приобщение детей к сущности математики, математических ме­тодов познания, формирует структурность мышления и исследова­тельские способности.

Второе направление обобщения арифметического материала — создание языка обобщенного описания чисел, отношений между ними и арифметических действий.

В арифметике числа выступают под своими собственными инди­видуальными именами. Арифметика «соткана» из частных случаев. В арифметике запись любого арифметического действия рассма­тривается как задача, требование которой — найти по двум данным числам результат действия — третье число, «одетое» в общепринятые «одежды» устного названия и письменной записи в десятичной систе­ме. В арифметике основная, единственная, наиглавнейшая задача — находить результаты действий, разрабатывать способы, алгоритмы вычислений. Общие утверждения — свойства, правила — рассматри­ваются в арифметике, прежде всего, как инструменты вычислений. Все прикладные задачи, содержащие числа, в арифметике преобра­зуются в последовательность простых задач, математической моде­лью каждой из которых является арифметическое действие с двумя известными числами.

Однако, есть текстовые сюжетные задачи, в которых задачная ситуация такова, что выражается арифметическим действием, в ко­тором компонентом действия является неизвестное число, а другим компонентом и результатом — известные числа. Пример такой за­дачи был приведен «Когда Лена отдала 3 значка, то у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?». Ситуация описывается дей­ствием вычитания, но вычитать нужно из неизвестного числа, кото­рое и нужно найти:? -3 = 4. Нередки также практические, текстовые сюжетные задачи с несколькими числовыми данными, содержание которых таково, что не удается составить последовательность пар известных чисел, результат последнего из которых давал бы ответ на вопрос задачи. А если обозначить искомое, неизвестное число каким-либо знаком, то легко составляется равенство, содержащее это неизвестное.

Еще одна ситуация, требующая обобщенной символьной записи. Свойства арифметических действий, свойства отношений между чис­лами справедливы для всех чисел. Для показа этого в математической записи мы не можем использовать цифровое обозначение чисел. Что­бы свойства чисел могли быть записаны не только на естественном языке, но и в виде короткой символической записи, необходимо изо­брести соответствующие знаки. Кроме того, интересно было бы также посмотреть на «царство чисел» сверху, чтобы представить, как оно в целом устроено. Для этого тоже нужны обозначения чисел, с по­мощью которых можно на письме изображать все числа или многие, в том числе неизвестные.

+ 1 стр.

Формой такого «взгляда сверху», формой обобщения, могла бы быть специальная система обозначения чисел, специальный язык — «одевание» чисел в такие специальные «одежды», чтобы можно было говорить об общих качествах и свойствах чисел, действий и отно­шений с ними. В этой системе знак мог бы обозначать некоторое произвольное число из заданного множества чисел. Тогда появляет­ся возможность исследовать и другие качества и свойства, законо­мерности, характеризующие множество чисел как математическую структуру.

И требуемый язык описания числового множества с заданны­ми на нем арифметическими действиями графическими символами и знаками был создан. Из истории математики известно, что к со­временному языку алгебры человечество шло тысячелетия. Совре­менная алгебра, представленная в школьном курсе математики — это раздел математики, который ассоциируется с математическими за­писями, в которых из одних математических выражений получают другие, от одних равенств и неравенств переходят по определенным правилам к другим.

Язык алгебры — это язык математических выражений, равенств и неравенств. Это язык письменный. Как у всякого письменного язы­ка в нем есть алфавит, в который входят буквы и цифры, которыми обозначаются числа, и знаки действий и знаки отношений. В этом языке есть разные виды слов, определяемые по внешнему виду: слова-»существительные» — математические выражения и числа; «глаго­лы», записываемые знаками арифметических действий, «наречия», обозначаемые знаками отношений. Этот язык содержит и правила записи, и правила чтения, что свойственно любым языкам. В этом языке есть и некоторые другие признаки языка, например слова-си­нонимы — разные числовые или буквенные выражения с равными числовыми значениями.

В качестве обозначений чисел в алгебре наряду с цифрами при­нято использовать малые латинские буквы, иногда некоторые малые греческие буквы. Так как выбор тех или иных знаков — это дело рук человеческих, то для обобщения каких-либо суждений о числах в процессе обучения мы вправе изобретать или выбирать любые гото­вые знаки такие, какие нам хочется. В гл. 7, а также при рассмотрении алгоритмов показаны примеры такого выбора. Выбор, изобретение знаков важно для понимания смысла обобщающих знаков. Умение вводить собственные или самостоятельно выбранные обозначения чисел для высказывания некоторого обобщающего утверждения — важное познавательное универсальное учебное действие. В случаях, когда наши записи представляются кому-то вне нашей учебной ра­боты и кто может не понять наши знаки, или когда есть требование использовать только общепринятые обозначения или цель нашей учебной работы — научиться использовать общепринятые обозначе­ния, мы должны пользоваться общепринятыми обозначениями.

Систему общепринятого буквенного обозначения чисел и действий с ними в методической литературе называют буквенной символикой. Буквенная символика — это буквы и способы обозначения ими чи­сел, отношений и действий с ними. Основная функция буквенной символики — выражать некоторое обобщенное знание о числах. Так как в обучении важно знание не только ставшее, но и становящееся, а потому не только сложившаяся система обозначений, но и процесс ее становления через применение произвольно выбранных знаков с той же основной обобщающей функцией, то в дальнейшем будем говорить не о буквенной символике, а об обобщающей символике. Обобщающая символика для обозначения чисел и записи утверж­дений относительно любых или любого числа из некоторого рассма­триваемого множества это выбранные или изобретенные учащимися символы и общепринятые латинские буквы (буквенная символика), обозначающие произвольное число, любо е число из некоторого рассматриваемого множества.

Обратим внимание на то, что обозначению чисел посвящен раз­дел математики «Системы счисления». Здесь рассматриваются обо­значения чисел другого рода и назначения. Система счисления зада­ет каждому числу индивидуальную, «эксклюзивную одежду», чтобы именно про это число можно было все узнать, именно с этим чис­лом выполнять арифметические и другие действия. А обозначения в алгебре — это «одевание» чисел в такие одежды, чтобы были под­черкнуты не различия, не индивидуальность, а одинаковость, общ­ность, а если и индивидуальность, то на фоне общего, как, напри­мер, корень уравнения.