Математическиевыражения, равенства, неравенства, уравненияиметодика ихизучениявначальнойшколе

Царева СЕ.

М Методика преподавания математики : учеб. пособие для

учреждений высш. проф. образования / С. Е. Царева. — М. : Издательский центр «Академия», 2014. — 496 с. — (Сер. Ба­калавриат).

ISBN978-5-4468-

Учебное пособие написано в соответствии с Федеральным государ­ственным образовательным стандартом высшего профессионального об­разования по направлению подготовки «Педагогическое образование», профиль «Начальное образование» (квалификация «бакалавр»).

В пособии дана характеристика роли, места и содержания методической подготовки будущего учителя начальных классов к обучению учащихся ма­тематике, изложен теоретический и практический материал для овладения студентами педагогической деятельностью обучения математике младших школьников в соответствии с современными педагогическими подходами в условия действия ФГОС НОО и многообразия учебных программ и учеб­ных комплектов. Содержание пособия согласуется с учебниками по мате­матике для названного профиля.

Для студентов учреждений высшего профессионального образования. Будет полезно также студентам педагогических училищ и колледжей, сту­дентам математических факультетов педагогических вузов.

УДК ББК

Оригинал-макет данного издания является собственностью

Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается

© Царева С. Е., 2013

© Образовательно-издательский центр «Академия», 2013
ISBN978-5-4468-© Оформление. Издательский центр «Академия», 2013

2____

Глава 8

Математическиевыражения, равенства, неравенства, уравненияиметодика ихизучениявначальнойшколе

Алгебраическаялиниявначальном обученииматематике

Обобщающаясимволика, числовые ибуквенныевыражения, числовыеравенства инеравенствакакпредметизучения вначальнойшколе

444

действий. •Ж. Обучениерешениюпростейшихуравненийинеравенств спеременной. •З. Обучениерешениютекстовыхзадачспомощьюсо­ставленияирешенияуравненийипростейшихнеравенств.

Приведем примеры соответствующей работы (см. пп. А и Б) при обучении младших школьников математике. Планируемые результа­ты — метапредметные, универсальные учебные действия. Учащийся получит возможность научиться использовать простые произвольные символы для обозначения наблюдаемых количественных и порядко­вых отношений, действий с предметами, свойств отношений между числами и арифметических действий с числами. Возможные задания для достижения этих результатов.

Задания. А. 1. Сравнениегрупппредметов, сравнениепредметов подлине, площадиповерхности, объему, массе, времени. Смыслы числа: теоретико-множественныйивеличинный.

• (Работавпарах. Накаждойпартетрикоробочки. Вкоробочкедва видамелкихпредметов (пуговицыдвухвидов, крупныебусины, камуш­ки, фасольит. п.)). Разделитепредметыповидамвдведругиекоро­бочкии, несчитая, определите, поровнулипредметов. Результатза­писатьвтетради, используязнакиравенстваинеравенства. Количество предметовкаждоговидаобозначитьлюбымзнаком-символом, который придумайтесамииливыберитеизизображенныхнадоске. Преждечем начатьработу, наметьтеиобсудитеспособеевыполнения.

• Нарисунке (рисунокнадоске, вучебнике, накарточках) двапред­мета, изображенныетак, чтовозможномысленноесравнениепоодной извеличин—длине, площади, объемуилимассе. Соответствующаяве­личинаодногопредметаобозначенаft, другого—©. Взаписи«ft©» между символаминужнопоставитьсоответствующийзнак: =, <или>.

• Используяусловныезнаки, обозначьтеарифметическимидействи­ямидействияспредметами. (Передучащимисядемонстрируютсядей­ствияспредметами, соответствующиетемарифметическимдействиям, которыеквременивыполненияэтогозаданияужеизучены.)

А. 2. Порядковыйсмыслчислаиарифметическихдействий.

• Натуральныечислайитаковы, чтой= А+ 3. Покажитевна­
туральномряду 1, 2, 3, …, А, …положениечислай, обозначив, если
нужно, «недостающие»числа.

Выполненноезаданиеможетвыглядетьтак: 1, 2, 3, …, А, (}, О, й, … ЧислаV, Q, X, б, 0записанывтомпорядке, вкакомонистоятвна­туральномряду. Запишиспомощьюа) знаковравенстваинеравен­стваиб) действийсложенияивычитанияотношениямеждулюбыми двумяизних. (V"<б, б- V"= 3, V+ 3 = б, V"= б- 3 ит. д.) Назови нескольконатуральныхчисел, которымимоглибыбытьнеобычнообо­значенныечисла.

А. 3. Свойстваарифметическихдействий.

• Прочитайтезаписи:О+ О= О+ О(отпеременыместслагаемых
сумманеменяется; (О+ О) + О= Ь+ (О+ 0) = (й+ 0) + О= (О+ 0) +

+ Ch= (О+ (}) + й(числаприсложенииможноскладыватьвлюбом порядке); (V+ О) - X= (V- X) + О= (О- ТГ) + V(чтобыизсуммы вычестьчисломожноеговычестьизодногослагаемогоикрезульта­туприбавитьдругоеслагаемое). •Выполнивычитание 10 - 5, 8 - 5, 12 - 5 пообразцу: 0- 5 = 0- 2 - 3. •Запишипредложения, исполь­зуяусловныезнаки: «Изнеизвестногочиславычли 3 иполучили 5», «Кнеизвестномучислувначалеприбавили 4, апотомвычли 4. Какое числополучилосьврезультате?», «Кчислу 10 прибавилиоднозначное числоиполучилидвузначноечисло», «Задуманноечислона 5 больше числаА. Чемуравнозадуманноечисло?»

Б. 1. •Введениебуквеннойсимволики. —Запишитеусловными знаками, чтоотпеременыместслагаемыхсумманеменяется. (А+ □= □+ А). —Вматематикепринятовместоусловныхзнаков, кото­рыемысвамииспользовали, когданадосказатьонекотором, любом числеилионеизвестномчисле, использоватьлатинскиебуквы: a. b, сидругие. Заменитевзаписипереместительногосвойстваусловные значкиналатинскиебуквы. —Запишитеследующиепредложения водинстолбикспомощьюусловныхзнаков, апотомвдругойстолбик перепишитеих, используябуквылатинскогоалфавита: «изнеизвест­ногочиславычли 5»; «кчислу 4 прибавили 7»; «изсуммыдвухчисел вычлитретьечисло»; «одночислобольшедругогона 10»; «некоторое числоуменьшилина 5». —Запишите 4 последовательныхчисланату­ральногоряда, обозначивпервоечислоусловнымзнаком; латинской буквой. (А, А+ 1, А+ 2, А+ 3 или#, #+ 1, ф+ 2, Ф+ 3; Ь, Ь+ 1, Ь+ 2, Ь+ 3). —Прочитайтеполучившиесязаписи. …—Какиезаписи читатьудобнее—сусловнымизнакамиилисбуквами? (Удобнеечи­татьсбуквами. Сусловнымизнакамиполучаетсякак-тонесерьезно инеправильно: «сумма«солнышка»ичисладва». Асбуквамилучше: «Ь+ 2 —кЬприбавить 2, Ьувеличитьна 2; суммадвухчиселЬи 2; х+ 7 = 12 —суммахисемиравнадвенадцати».)

Обучениерешениюуравнений

Основные способы решения уравнений в начальной школе: 1) подбор и 2) на основе зависимости между компонентами и ре­зультатом действия.

Подбор.Первым и ведущим способом решения уравнений должен быть подбор. Мы уже говорили, что этот способ основан на строгом

определении уравнения, отражает общий смысл понятия уравнения. Чтобы этот смысл был понят и принят необходимо, чтобы учащиеся приобрели достаточный опыт выполнения основных действий при подборе корня, так как владение ими необходимо при проверке ре­шении уравнения любым способом. Такими действиями являются: замена символа его значением, установление истинностного зна­чения числового равенства (верное или неверное?).

Решение уравнения подбором нужно включать в уроки и тогда, когда учащиеся познакомятся и с другими способами решения урав­нений. Такое решение может быть из видов заданий при освоении учащимися вычислительных алгоритмов, при изучении свойств дей­ствий, овладении умениями находить значения числовых выражений в несколько действий.

Задания. • 1. Решиследующиеуравнения, подобравкореньспо­мощьюсвойстварифметическихдействий: х+ 3 = 3 + 4; 12 - (7 + х) = = 12 - 7 - 10; 17 · (х+ 5) = 17 · 10 + 17 · 5; 27 · 5 + 27 ·х= 27 · 20. • 2. Дано уравнение 393 ·х- 2 430 : 5 = 6 195, корнемкоторогоявляетсяодно изчиселизчисел 15 или 17; определикореньуравнения.

При решении подбором в рассмотрение можно брать любые уравнения, например такое (х + 3) - (4 + х) = 11, или после изучения умножения на нуль такое (х - 7) · (х - 14) · (5 - х) = 0. Полезно обра­щение к решению уравнений подбором и в процессе овладения уча­щимися действиями с многозначными числами. При любых способах решения, подстановка в уравнение значения переменной и вычисле­ние значений числовых выражений, расположенных слева и справа от знака =, установление того, верное или неверное равенство по­лучилось, являются средствами проверки решения. Таким образом, нахождение корня уравнения подбором полезно, прежде всего, как средство формирования понятия уравнения, как средство проверки найденного другим способом корня.

Способ, основанный на зависимости между компонентами и результатом действия.Это следующие зависимости: между сум­мой и слагаемыми (a + b  = c  <->c  - b  = a, c  - a = b — если из суммы слагаемых вычесть одно из слагаемых, то получится другое); между разностью и вычитаемым, между разностью и уменьшаемым (a - b  = c  <r->b+ c  = a, a - c  = b — если к вычитаемому прибавить разность, то получится уменьшаемое; если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое); между произведением и множителями (ab = c<r->c:b = a,c:a = b — если произведение разделить на мно­житель, то получится другой множитель); между частным и делимым, между частным и делителем (a:b = q<->a  = bq, a:q = b— если частное умножить на делитель, то получится делимое; если делимое разделить на частное, то получится делитель). Обратим внимание, что зависи­мость действует в ситуации, выраженной в записи истинным число­вым равенством. Все буквенные записи свойств представляют истин-

ные числовые равенства для некоторой тройки чисел. Перечисленные свойства характеризуют связь действий, которые называют взаимно обратными: сложения и вычитания, умножения и деления.

Если в равенствах, выражающих зависимость между компонента­ми и результатами действий, поменяем левую и правую части и про­читаем их, то получим утверждения относительно компонентов дей­ствия. Например, а + Ъ = с<->а = с- Ъ, Ъ= с- а, что читается так: «Слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого». Если это слагаемое по каким-либо причинам было нам неизвестно, то мы получаем возможность его найти. В этом случае формулируют пра­вила: как найти неизвестное слагаемое (вычитаемое, уменьшаемое, множитель, делимое, делитель), которые могут быть использованы при решении уравнений.

Рассмотренные зависимости являются важными зависимостями при изучении арифметических действий и потому рассматривают­ся обычно в процессе этого изучения. При планировании перехода к способу решения уравнений на основе этих зависимостей нужно на нескольких предыдущих уроках актуализировать знания этих зави­симостей, правил нахождения неизвестного компонента действий.

Чтобы перейти к способу решения уравнений на основе указан­ных зависимостей, нужно от уравнения как от равенства с пере­менной, которое не является верным числовым равенством, перей­ти к верному числовому равенству (представленные зависимости и правила применимы только к верным числовым равенствам). Для этого применяют прием, который можно назвать «выдаем желаемое за действительное». Этот прием заключается в том, что мы «делаем вид», что уравнение — это верное числовое равенство. Нам нужно, чтобы уравнение было верным числовым равенством — мы и назна­чим его быть таковым! В математике довольно часто используют этот прием. Говорят: «Пусть …». Принимая желаемое за действительное, получают следствия, приводящие к новым знаниям.

Пусть нам нужно решить уравнение: х + 18 = 42. Мы пока не зна­ем значения х, т. е. не знаем имени или цифрового общепринятого обозначения числа, при подстановке которого вместо х, равенство было бы верным. Но скажем: пусть х будет не переменной, а тем чис­лом, которое в сумме с 18 дает число 42, т. е. х и есть то самое число, которое является корнем уравнения. Просто оно записано не цифра­ми! И в этом смысле можно назвать его неизвестным нам. Тогда х + 18 = 42 есть истинное (верное) числовое равенство, утверждающее, что сумма числа х и числа 18 равна 42. Для такой суммы справедли­во свойство: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое: 42 - 18 = х, или: чтобы найти неизвестное слагае­мое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое х = 42 - 18. Вы­полнив вычитание, получаем искомое значение х = 24 — цифровую запись слагаемого и значения переменной х, при котором уравнение обращается в верное равенство (24 — корень уравнения).

Урок, на котором первый раз обсуждается вопрос, как еще, кро­ме подбора можно найти корень уравнения может быть проведен по плану: а) актуализация знания зависимостей между компонентами и результатами изученных действий (сложения и вычитания); б) по­становка проблемы и учебной задачи: открыть, узнать новый способ решения уравнений, научиться решать простейшие уравнения новым способом; в) открытие нового способа в процессе обсуждения воз­можности применения свойств арифметических действий (зависимо­стей между компонентами и результатами действий), представление способа в форме алгоритмического предписания (перечня операций); г) применение нового способа к решению уравнений; д) подведение итога по теме «Решение уравнений на основе зависимостей между компонентами и результатами действий».

Полагаем, что введение уравнений и названных способов реше­ния произойдет не позднее второго класса, на материале действий сложения и вычитания, поэтому дальнейшее развитие темы будет идти по трем направлениям: простейшие уравнения с действиями умножения и деления; уравнения, требующие преобразования вы­ражений для перевода к основным видам простейших уравнений; уравнения сложной структуры. Виды простейших уравнений с умно­жением и делением: 2х = 8, х: 3 = 9, 24: х = 10. Примерный вид урав­нений, требующих преобразования числовых выражений: 3 + х + 17 = 18 · 3. Пример видов уравнений сложной структуры: (х + 4) · 5 = = 40, (х + 4) · 5 - 25 = 15. Уравнения для решения могут задаваться учебником, составляться самими учащимися, в том числе по тексто­вым задачам.

Значение изобретения уравнений в познании мира, решении за­дач осознается учащимися при применении их к решению текстовых задач. Как отмечалось, основной частью такого решения является составление уравнения, которое может рассматриваться как перевод текста с естественного языка на математический (см. гл. 5).

Завершая разговор о представлении алгебраической линии в на­чальном математическом образовании еще раз подчеркнем ее зна­чимость как средства обобщения, средства понимания сущности ма­тематики как всеобщего языка познания.

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫИЗАДАНИЯ

1. Какая связь между алгеброй и арифметикой? Как вы понимаете слова Исаака Ньютона, что алгебра — это «всеобщая арифметика»?

2. Что такое «математическая структура»? Какие свойства множества на­туральных чисел и нуля позволяют утверждать, что это множество явля­ется структурой? Как можно использовать этот факт в обучении матема­тике учащихся начальной школы?

3. Приведите примеры заданий и вопросов, которые бы побуждали учащих­ся к обобщению арифметических действий и их свойств.

4. Какие средства письменного языка математики предназначены для утверждений о любых числах? Какие письменные знаки можно исполь­зовать для общих утверждений о числах, отношениях и действиях с чис­лами при обучении младших школьников? Как включить учащихся в про­цесс изобретения таких средств?

5. Что такое «буквенная символика» и как она может быть использована в начальном обучении математике?

6. Какую роль играет понятие выражения в математическом образовании младших школьников? Какие виды математических выражений рассма­триваются в начальной школе? Чему нужно и можно научить учащихся при изучении ими выражений? Перечислите соответствующие предмет­ные результаты.

7. Чем отличаются числовые равенства и неравенства от отношений равен­ства и неравенства между числами? Какова связь этих понятий? Как по­казать эти отличия и эту связь учащимся?

8. В чем сходство и отличия понятий «переменная» и «неизвестное»? Как это отражается в характеристике понятия «уравнение»?

9. Почему способ решения уравнений «подбором» является ключевым при обучении математике в начальной школе? Какие еще способы решения уравнений доступны учащимся начальной школы?

10. Как перейти от решения уравнений подбором к решению уравнений другим способом, чтобы смысл уравнения как равенства с переменной оставался неизменным?

Глава 9

Геометрическоеобразованиемладших школьников

9.1. формаипространственныеотношения какосновагеометрическогообразования младшихшкольников

Понятиеформыипространства

Геометрия изучает пространственные формы и пространственные отношения объектов материального мира, идеализируя их и абстра­гируясь от других их характеристик. Чтобы строить геометрическое образование детей, нужно понять, что есть форма, пространство, пространственные отношения, как может быть получена и выраже­на информация о них.

Форма, пространство и пространственные отношения являются наиболее общими, базовыми общенаучными, философскими поня­тиями и потому их содержание задается не строгими определениями, а описаниями значений соответствующих терминов, суждениями, текстами-толкованиями, примерами конкретных форм и простран­ственных отношений.

Форма «(лат. forma) — 1) внешнее очертание, наружный вид, кон­туры предмета. 2) Внешнее выражение какого-либо содержания (см. Содержание и форма). …» (Большой энциклопедический словарь.). «ФОРМА (лат. forma— «вид, облик, лик, обличье, наружность, внешность») — единство внутренней структуры и качеств внешней поверхности какого-либо объекта. (Яндекс Словари > Словарь изо­бразительного искусства, 2004 — 2009.)

Все материальные объекты имеют форму. У одних она устойчивая, у других — меняющаяся, зависящая от других объектов. Жидкости не имеют устойчивой формы. Они принимают форму сосуда, в ко­торый помещены, и лишь поверхность жидкости на границе с газом, имеет собственную форму, зависящую от такой характеристики, как поверхностное натяжение жидкости на границе с данным газом или смесью газов, например, с воздухом. Для сохранения энергии любая

жидкость стремится принять форму с наименьшей площадью поверх­ности. В невесомости капля принимает форму шара: площадь поверх­ности шара, площадь сферы — наименьшая для всех форм с таким же объемом. Струя воды стремится принять цилиндрическую форму. При помещении жидкости на горизонтальную поверхность форма жидкости зависит от качеств самой жидкости, от смачиваемости участков поверхности и может приобретать самые причудливые фор­мы. Вода на поверхности листа растения собирается в капли, форма которых близка к форме шара. Поэтому наблюдения за жидкостями, их формами может быть интересным занятием для учащихся.

У твердых тел форма устойчива. Она сохраняется длительное время и доступна органам чувств также длительное время. Поэтому именно твердые тела и их положение по отношению друг к другу ста­ли основной причиной появления геометрических фигур как сред­ства описания и удержания информации о форме. Информация эта важна для человека по многим причинам, прежде всего потому, что от нее зависит его безопасность, безопасность перемещения и взаи­модействия с твердыми телами. А. Пуанкаре писал: «Если бы не было твердых тел в природе, не было бы и геометрии»¹. Он также отмечал, что для выделения формы как свойства материальных тел необходимо движение. именно в движении проявляются различия в форме.

На естественном языке описать форму можно двумя основными способами: а) указать на сходство с известным всем предметом (похо­же на солнышко, как цветок, как ленточка, как кирпич; имеет форму яйца, кастрюли, шкафа, змеи, карандаша и т. п.); б) выразить инфор­мацию о форме специальными языковыми средствами в устной или письменной речи (с углами, круглый, без углов, треугольный, имеет форму шара, прямоугольника, квадрата, конуса и т.п.). Математиче­ское описание формы — это представление формы в виде чертежей геометрических фигур, определение элементов геометрической фи­гуры, формулирование и обоснование свойств фигур данного вида, общих для всех и только для части из них. Свойства фигуры отража­ют свойства моделируемой геометрической фигурой формы.

Наиболее наглядными способами представления информации о форме и пространственных отношениях являются графические: ри­сунок, схематический рисунок и схематический чертеж, чертеж, план, карта, наиболее богатые содержанием и обоснованные — в форму­лировках свойств и их доказательствах.

Форма тесно связана с пространством. Вообще говоря, форму любого твердого тела, как и любой геометрической фигуры, можно характеризовать через взаимное пространственное расположение его частей. Книга имеет форму параллелепипеда. У книги противо­положные поверхности параллельны, противоположные края (ребра параллелепипеда) одной стороны книги (грани параллелепипеда) рав-

Пуанкаре А. О науке. — М., 1990. — С. 58.

ны и параллельны друг другу, у каждой из шести граней книги по че­тыре плоских прямых угла, у книги 8 трехгранных углов и 24 прямых линейных угла, каждая грань имеет форму прямоугольника, и т. п.

В геометрии различают абстрактно-математическое (А. Д. Алек­сандров¹) или геометрическое пространство (А. Пуанкаре²), физи­ческое или реальное пространство (А.Д.Александров) и простран­ство представлений (А. Пуанкаре). Последнее можно понять как образ реального физического пространства в сознании человека, в его ощущениях. Пространство представлений существует в трех видах — пространство визуальное, пространство тактильное и пространство моторное. (А. Пуанкаре).

Представление о реальном, физическом пространстве мы получа­ем через ощущения: визуальные (смотрю); тактильные (трогаю, ощу­пываю, прикасаюсь); кинестетические, или моторные (перемещаюсь по поверхности, провожу рукой вдоль ребра, грани, по поверхности, иду от одного предмета до другого). Геометрическое простран­ство — то абстрактная модель реального физического пространства, его идеализированный образ.

Пространственные отношения характеризуют место события, перемещение, движение объектов, их взаимное расположение по от­ношению друг к другу и к наблюдателю. Пространственные отноше­ния в геометрии подобны отношениям физического пространства, так как являются их моделями: • находиться в центре площади, на середине дороги, на краю леса, между школой и жилым до­мом; • перейти через дорогу; • ехать поездом от Новосибирска до Москвы. Центр окружности, середина отрезка. Точка В ле­жит между точками А и С. Точка В перемещается от точки А к точке С; • построить окружность, проходящую через три данные точки; • в параллелограмме ABCDA₁B₁C₁D₁ расстояние от точки  A  до точки C₁равно 5 см.

Пространственные отношения в языке выражаются лексически­ми, морфологическими и синтаксическими средствами. В филоло­гии выделяют специальную понятийную категорию «пространствен-ность» ввиду значимости пространственных отношений в жизни: «Это сложное языковое явление, в котором отражаются событийные сферы реальной действительности, субъективное восприятие ее че­ловеком, многообразие параметрических характеристик предметов, особенности ландшафта, своеобразно преломляющиеся в языке. Совокупность данных пространственных параметров образует один из важнейших аспектов языковой картины мира. Пространственные отношения заслуживают внимания как по частотности употребления (входят в семантическую структуру многих типов предложений), так и по функциональной значимости (охватывают все сферы реальной

¹ Александров А. Д. Основания геометрии. —М., 1987.

² Пуанкаре А. О науке. — М., 1990.

действительности)»¹ Примеры языковых средств выражения про­странственных отношений: под окном, на доске, у дома, в классе, за шкафом, около реки, посередине, со стола; тут, там, здесь, впереди, сзади, сверху, снизу, левее, правее и др.; бежать (по на­правлению) к дому, Становление и развитие представлений о про­странственных отношениях поэтому тесно связано с развитием речи.

9.1.2. становлениепредставленийоформе, пространственныхотношенияхигеометрических фигурахудетейдошкольноговозраста

В начальную школу дети приходят уже обладая определенным запасом представлений о форме и пространственных отношениях, а при посещении дошкольных образовательных учреждений — и о ге­ометрических фигурах. Учителю необходимо знать о том, как проис­ходило формирование этих представлений, с каким их содержанием и уровнем могут приступать к изучению геометрического материала первоклассники, чтобы организовать учебную деятельность учащихся в зоне их ближайшего развития.

Что в нашей жизни, в жизни ребенка зависит от формы предметов, от умения по зрительному восприятию или словесному описанию определять форму, ориентироваться в пространстве? Почему позна­ние формы и пространства так важно для существования ребенка?

Малыш, едва родившись, совершает хаотичные движения руками и ногами. Если на пути этого движения оказывается твердый пред­мет, то ребенок испытывает болевые ощущения, сила и характер ко­торых зависят как от характера движений ребенка, так и от формы твердого тела. Вот ребенок берет в руки игрушки, другие предметы. Вначале он делает это в силу врожденного рефлекса, а с трех-четы-рех месяцев уже произвольно. В зависимости от формы предмета он получает разные ощущения. Предметы без углов, размеры и форма которых позволяют удобно поместить их в ладонь, вызывают прият­ные ощущения. Предметы, имеющие острые углы, вызывают болевые ощущения. Они могут травмировать, они опасны.

Ребенок, едва начав ходить, первый раз идет «пешком под стол» и задевает крышку стола. Зрительные, слуховые (звук удара о стол), тактильные, кинестетические ощущения сохраняются и связываются с болью. Взрослые в таких ситуациях обычно комментируют прои­зошедшее в речи, проводят рукой ребенка по ребру стола, которое

¹Федосеева Л. Н. Пространственные отношения в современном русском языке: семантика и средства выражения / Автореферат дисс. на соиск. уч. степе­ни канд. филл. наук. — М., 2004. (Подробнее об этом в работе: Всеволодова М. В. Способы выражения пространственных отношений в современном русском язы­ке/М. В. Всеволодова, Е.Ю. Владимирский. — М., 2009.)

«сделало больно», показывают на другие его края, углы и на похожие части другого предмета (моделью форм которых является математиче­ское понятие «угол»). После такого опыта в следующий свой «поход» ребенок еще издалека начинает пригибаться, приседать и действует уже безопасно. Аналогично он учится преодолевать другие препят­ствия. Таким образом, знание формы, представления о форме необ­ходимы для безопасности и даже сохранения жизни.

Способность к познанию формы и пространственных отношений заложена самой природой, и с первых дней жизни ребенок начинает активно осваивать их с помощью органов чувств. Если взрослые при этом внимательны к тому, что происходит с ребенком, если создают богатую материальную и соответствующую языковую и речевую сре­ду, то дети достаточно быстро начинают различать формы предметов по их словесному имени или описанию. Они научаются безопасно вести себя во взаимодействии с материальными телами на основе так­тильных, кинестетических («моторных» — А. Пуанкаре) зрительных и слуховых ощущений, пространственного воображения и речи.

Именно потому, что наше физическое существование, наша без­опасность зависят от характера взаимодействия с твердыми предме­тами, от умения ориентироваться в пространстве, природой преду­смотрены соответствующие сенситивные периоды в развитии детей. Самыми первыми такими периодами жизни ребенка являются пе­риоды с предметно-манипулятивной и предметно-игровой веду­щими видами деятельности. В манипуляциях и играх с предмета­ми ребенок осваивает пространство, пространственные отношения между предметами, сохраняет и связывает между собой тактильные, осязательные, кинестетические, слуховые и зрительные ощущения и образы. Это позволяет ему в дальнейшем только по зрительному восприятию внешнего вида предмета, по форме, определять характер возможного взаимодействия, его последствия, выбирать безопасные способы действий с предметом или отказаться от действий с ним.

Важную роль в освоении ребенком формы и физического про­странства играет движение. Детей с первых месяцев жизни более всего интересуют движущиеся предметы и сами дети находятся в по­стоянном движении. Игры с предметами, в том числе двигательные, сопровождаемые репликами и комментариями взрослых, позволяют детям обнаружить зависимость характера движения предмета от его формы, обеспечивают овладение способами словесного описания формы и пространственного расположения и перемещения предме­тов по отношению друг к другу, по отношению к себе. Такие игры способствуют развитию пространственного воображения, умения ориентироваться в пространстве.

Экспериментируя с предметами, дети узнают о многих их свой­ствах, обусловленных формой. Например, одни предметы колются — у них есть углы, у других предметов нет углов, и они не колются. Одни предметы хорошо катятся — они круглые, округлые, а другие

не катятся — они не круглые. Одни предметы устойчивы, другие нет, и форма у них разная. Если форма у двух предметов одинако­вая, то они при движении под влиянием одинаковой силы ведут себя похожим образом. Форма многих твердых тел такова, что в одном положении они устойчивы, а в других — неустойчивы. Предметы, имеющие форму близкую к форме шара, во всех положениях неу­стойчивы.

Информация о форме твердого предмета, получаемая на чувствен­ном уровне, тем достовернее, полнее и действеннее, чем больше анализаторов разных видов чувств включено в исследование пред­мета. Ощупывание (осязание, тактильные ощущения) информирует нас о деталях; движение по поверхности предмета (моторные или кинестетические ощущения) в сочетании с тактильными передают информацию о протяженности предмета в разных направлениях — о его размерах, форме его границ. Даже слух может участвовать в освоении формы и пространств, например, при качении твердых тел в одних и тех же условиях звук качения будет разный. Зрительный образ объединяет в себе данные других органов чувств. Если зрение утеряно, то функцию объединения берет на себя осязание. Качество информации о форме и пространственном расположении предметов обеспечивается опытом исследования предметов с помощью разных органов чувств.

Известный психолог ХХ в., Ж. Пиаже, исследуя становление ма­тематических понятий у детей дошкольного и младшего школьного возраста, выявил, что порядок развития геометрических представле­ний детей является «обратным порядку их исторического открытия»¹. Как установлено Ж. Пиаже, первыми геометрическими открытиями ребенка являются топологические. Уже с 3 лет ребенок начинает от­личать открытые и замкнутые предметы и фигуры, предметы и фор­мы с «дырами» и без них, соприкасающиеся и не соприкасающиеся, различать внутренние области и внешние и т. п.

Способность устанавливать топологические отношения возни­кает раньше других. Эта способность и время ее проявления, пишет Ж. Пиаже, заложена генетически в ребенке, и для его успешного развития нельзя нарушать эту последовательность. В то же время в дошкольных учреждениях и начальной школе изучение геометри­ческого материала строилось в логике аксиоматического построения теории в геометрии Евклида: точки, отрезки, многоугольники и их свойства. В большинстве современных учебников для начальной школы эта логика выстроена в соответствии с результатами иссле­дований Ж. Пиаже.

В программах дошкольного образования форме предметов и про­странственным отношениям уделяется большое внимание. Эта сто-

¹Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия // Вопросы психо­логии. — 1966. — № 4.

рона геометрического развития представлена специальным обучени­ем умению пользоваться предлогами на, в, под, над, от, до, у, на­речиями около, внутри, снаружи, позади, впереди, слева, справа, прямо и др., умению ориентироваться на плоскости листа и в про­странстве.

Умение ориентироваться на плоскости листа и в простран­стве — это умение, состоящее из двух: а) умения по словесному описанию положения точки или предмета (в том числе с использо­ванием числовых характеристик расстояний) найти эту точку или предмет на плоскости листа, в помещении, на улице; б) умения со­ставить словесное адекватное описание положения точки на плоско­сти листа, в помещении или на улице.

В дошкольном образовании формирование названных умений входит во все современные программы дошкольного образования. Большой популярностью в занятиях с дошкольниками пользуются игры, в которых по плану нужно найти предметы, спрятанные в игро­вой комнате, на игровой площадке, на территории детского сада.

Ориентирование на листе бумаги представлено в дошкольном об­разовании и в некоторых учебных материалах для начальной шко­лы разнообразными видами заданий. Например, соединение точек в порядке их нумерации или в порядке, который указывает педагог, в результате чего получается интересное и красивое изображение. Это, и любимые детьми графические диктанты, в которых на клет­чатой бумаге от данной точки дети проводят линии в заданном на­правлении и на заданное расстояние: 3 клетки влево, одна клетка вверх, одна клетка по диагонали снизу — вверх и слева — направо, 1 клетка вправо, 1 клетка по диагонали сверху вниз и слева — на­право, 1 клетка вниз, 1 клетка вверх, 3 клетки влево — получилось изображение домика.

Во всех программах дошкольного образования предусмотрено изу­чение простейших плоскостных и стереометрических геометрических фигур: квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, пирамида, шар, цилиндр, конус, призма, параллелепипед (без использования терми­на). Запас геометрических представлений у детей, освоивших одну из действующих в настоящее время программ образования и развития детей в дошкольном образовательном учреждении достаточно велик. Возраст 6 — 7 лет — это возраст, в котором высок интерес к выраже­нию опыта взаимодействия с материальным миром и физическим пространством средствами родного языка и языка графического.

Однажды мы провели мини-исследование, предложив детям 6 лет из детского сада, второклассникам и семиклассникам (одна группа и по одному классу, г. Новосибирск) одно и то же задание: «Изо­бразить (нарисовать), назвать, рассказать, показать, какие линии и плоские геометрические фигуры «спрятались» в цилиндре». (Мо­дели цилиндров и предметы цилиндрической формы были у детей.). Оказалось, что наибольшее число таких фигур усмотрели в цилиндре

дошкольники, наименьшее — семиклассники. Полной неожидан­ностью для нас было то, что дошкольники нар<