Построение кривой тока переходного режима
В задании на расчетно-графическую работу кривые тока в индуктивности и напряжения на емкости предлагается построить методом вращающегося вектора. Суть метода заключается в следующем.
Пусть требуется найти графическое изображение функции a=Amsinw t.
Будем вращать вектор длиной Am против часовой стрелки с угловой скоростью w . Конец вектора при этом будет описывать окружность (рис. 8,а). Время полного оборота вектора обозначим Т. Это период синусоиды. Разделим его на какое-то количество равных частей, например, на 12 (рис. 8,б). На такое же количество частей делим окружность, и в каждую точку деления из ее центра проводим вектор (рис. 8,а).
а) б)
Рис. 8. Метод вращающегося вектора: а) вращающийся вектор; б) получение точек синусоиды
Положение точек синусоиды определяется следующим образом. Из конца каждого вектора проводим вправо горизонтальную прямую и фиксируем ее точку пересечения с вертикалью mn, отмечающей на оси t нужный момент времени.
Особенность кривой тока переходного режима в данной работе заключается в том, что амплитуда синусоиды не постоянна, а уменьшается по экспоненциальному закону, и конец вектора при вращении описывает не окружность, а некоторую спиральную кривую.
Порядок построения затухающей синусоиды рассмотрим на примере свободной составляющей тока i(t) [формула (12)], которую запишем следующим образом:
iсв(t)= Iсвm(t) · sin(1111t-108,7° ), (29)
где Iсвm(t) – экспонента, определяющая характер изменения амплитуды свободного тока. Ее постоянная времени равна
мс.
Для построения графика Iсвm(t) удобно составить следующую таблицу (табл. 2).
Таблица 2
Построение экспоненты
Время в долях t | t,мс | Iсвm(t), A | |
1,056 | |||
0,5t | 0,607 | 1,34 | 0,641 |
t | 0,368 | 2,67 | 0,389 |
1,5t | 0,223 | 0,235 | |
2t | 0,135 | 5,34 | 0,143 |
2,5t | 0,0821 | 6,68 | 0,087 |
3t | 0,0498 | 8,01 | 0,053 |
Данные двух левых колонок, вычисленные в относительных единицах, одинаковы для любых значений А и t , т.е. для всех вариантов. Значения t в третьей колонке получаем, подставляя свое значение t (у нас 2,67 мс) в данные первого столбца. А значения последней, четвертой графы находим, умножая соответствующие значения экспоненты на численное значение А (в рассматриваемом примере 1,056).
Отложив на осях тока и времени масштабы, рекомендуемые ЕСКД, строим зависимость Iсвm(t) – рис. 9,б.
Следующий шаг – построение годографа вектора.
Начальное положение вращающегося вектора определяется начальной фазой кривой свободного тока. Так как она отрицательна [см. формулу (29)], то определяющий ее угол 108,7° откладываем от горизонтальной оси по часовой стрелке (рис. 9, а). Против часовой стрелки от этого направления с интервалом 30° (1/12 полного оборота) проводим еще 12 лучей. На оси t правого графика откладываем период мс и делим его также на 12 равных частей. Через точки деления проводим вертикальные отрезки до пересечения с экспонентой (концы этих отрезков отмечены цифрами от 0 до 12). Величины этих отрезков определяют длину вращающегося вектора в различных его положениях. Так, длина вектора в первоначальном положении равна начальной (нулевой) ординате экспоненты, длина вектора в положении через 30° равна ординате "1" экспоненты и т.д. Величины ординат экспоненты удобно переносить на соответствующие направления вектора с помощью циркуля. Концы векторов обозначаем теми же цифрами, что и ординаты экспоненты.
Точки кривой свободного тока получаются на пересечениях горизонтальных прямых, проведенных из концов вектора в различных его положениях, и вертикальных отрезков, проходящих через соответствующие точки экспоненты.
И, наконец, складывая полученную кривую с принужденным током (в нашем случае iпр=2 А), строим результирующую кривую тока переходного режимаi(t), на которую наносим точки по данным табл. 1.
а) б)
Рис. 9. Построение графика тока: а) годограф вектора; б) кривые свободного тока и суммарная
Кривую тока следует построить на отрезке времени, не меньшем одного периода.
Кривая напряжения на емкости строится аналогично.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ РАБОТУ
В электрической цепи с двумя реактивными элементами и источником постоянной ЭДС (рис. П1) происходит переключение ключа. Численные значения параметров цепи см. в табл. П1.
Рис. П1. Варианты расчетных схем. Номер схемы совпадает с первой цифрой варианта
Окончание приложения
Таблица П1
Численные значения параметров цепи
Вторая цифра варианта | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | E, В | Третья цифра варианта | L, мГн | C, мкФ |
9,4 | |||||||
1,3 | |||||||
2,7 | |||||||
6,7 | |||||||
5,4 | |||||||
Для заданной электрической цепи необходимо выполнить следующее.
1. Найти законы изменения токов первой и второй ветвей в переходном режиме классическим методом.
2. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе операторным методом.
3. Найти закон изменения тока через конденсатор, используя уравнение связи между iС и uС.
4. Рассчитать переходный процесс методом переменных состояния.
5. По аналитическим выражениям построить кривые тока в индуктивности и напряжения на емкости методом вращающегося вектора. На эти кривые нанести точки, полученные в результате численного интегрирования уравнений состояния.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил и др. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
2. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб.для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1998. – 575 с.
3. Шебес М.Р., Каблукова М.В.. Задачник по теории линейных электрических цепей. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 544 с.