Модуль действительного числа

Определение.Модулем действительного числа х называется неотрицательное число, определяемое условием

Если e > 0 - произвольное число, то из неравенства следует, что или .

Свойства модуля действительного числа

Пусть а и b – произвольные действительные числа. Тогда:

1. 2. ;

3. – неравенство Коши – Буняковского; 4.

Ограниченные множества

Определение. Множество DÌ Rназывается ограниченным сверху, если существует такое действительное число b, что х £ b, " хÎ D. Аналогично - D ограничено снизу, если существует такое действительное число а, что х ³ а, " хÎ D.

Определение. Множество Dназывается ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть множество D ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на конечном отрезке [а; b] (рис.4.1).

Множество, состоящее из конечного числа точек - ограничено.

Примеры:

1. Множество натуральных чисел ограничено снизу любым числом а £ 1.

2. Множество отрицательных чисел ограничено сверху любым числом

b ³ 0.

Определение. Множество неограниченное сверху или снизу называется неограниченным.

Теорема:множество DÌ R–неограниченно, если " М > 0 $ хÎ D, такое что çх ç> М.

Например, множество целых чисел Z неограниченно. Неограниченными множествами являются бесконечные интервалы (-¥; +¥), (-¥; b), (а; +¥).

Нижние и верхние грани множества

Если действительное число b ограничивает множество D сверху, то b называется верхней гранью множества D. Любое число больше b, тоже является верхней гранью множества D.

Наименьшая верхняя грань множества D называется точной верхней гранью и обозначается sup D = M или sup{x} = M(латинское слово supremum - наибольший).

Из определения точной верхней грани вытекают следующие свойства:

Mесть верхняя грань множества D, то есть " хÎ D выполняется неравенство х £ M;

" e > 0 найдется число хÎ D, такое, что M – e < х £ M.

Аналогично определяется точная нижняя грань множества D.Наибольшая нижняя грань множестваDназывается точной нижней гранью и обозначается

inf D= m или inf{x} = m (латинское слово infimum - наименьший).

Точная нижняя грань mмножестваD характеризуется свойствами:

m есть нижняя грань множестваD, то есть " хÎ D выполнено неравенство х ³ m;

" e > 0 найдется число хÎ D, такое, что m < х £ m + e.

Принадлежность множеству D верхней и нижней грани необязательна. Существование inf Dи sup D у ограниченного множества очевидно.

Точной верхней гранью неограниченного множества является (+¥). Точной нижней гранью неограниченного множества является (–¥).

Например, sup [a; + ¥) = +¥, inf (–¥; b] = –¥, sup Z = +¥, inf Z = –¥.

Окрестность точки

Определение.Расстоянием между числами х₁ и х₂ называется число r(х_1, х₂) = êх₁ - х₂ ê.

Определение.e - окрестностью точки aÎ R., называется множество действительных чисел

U_e(a) = r (х, a) = êх - a ê< e (рис.4.2).

Проколотой окрестностью называется окрестность, из которой удалена сама точка a (рис.4.3).

Комплексные числа