Классификация точек на поверхности

М – точка С²-гладкой поверхности Ф, заданной вектор-функцией . Пусть k_n ¹ 0 (хотя бы один коэффициент L, M, N ненулевой)

П_Н – касательная плоскость к Ф в точке М.

Рассмотрим прямые плоскости П_Н, проходящие через точку М.

На каждой такой прямой от точки М по обе стороны отложим отрезки MP = , где k_n – нормальная кривизна линий на поверхности, для которых данная прямая является касательной.

Множество полученных таким образом точек Р образует линию, называемую индикатрисой кривизны (индикатрисой Дюпена)

Франсуа Пьер Шарль Дюпен (1784-1873)

французский геометр и экономист. По образованию – инженер-кораблестроитель.

В 16 лет вывел уравнение циклоиды (циклоида Дюпена).

В области дифференциальной геометрии: доказал теорему, носящую его имя, о пересечении поверхностей ортогональной системы вдоль общих линий кривизны; ввел кривую, позволяющую наглядно представить распределение кривизны поверхности в различных нормальных ее сечениях (индикатрису Дюпена).

Усовершенствовал геометрию световых лучей французского физика и математика Этьена Малюса, что способствовало модернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометрию прямолинейных конгруэнций.

g: L x² + 2M xy + N y² = ±1 – уравнение индикатрисы Дюпена в аффинной системе координат R = {M, , } (Р(x, y) – точки индикатрисы)

В зависимости от вида индикатрисы Дюпена (кривая второго порядка) проводят классификацию точек поверхности. Она может представлять собой:

1) эллипс, если LN – M² > 0 => точка М – эллиптическая. Если индикатриса Дюпена – окружность, то т. М называется омбилической.

2) пару сопряженных гипербол, если LN – M² < 0, точка М – гиперболическая.

3) пару параллельных прямых, если LN – M² = 0, точка М – параболическая.

Пример. Определить тип точек на поверхности z = x + y²

x = u (1; 0; 1) (0; 0; 0) (0; 0; 0)

y = v (0; 1; 2v) (0; 0; 2)

z = u + v²

= = (–1; –2v; 1) => | | =

(– ; – ; )

L = 0, M = 0, N = · = => LN – M² = 0 => все точки данной поверхности являются параболическими.

Главные кривизны поверхности

Определение. Главными кривизнами поверхности называются экстремальные значения нормальных кривизн в заданной точке (если они имеются)

Определение. Касательные к кривым на поверхности, нормальные кривизны которых – главные, называются главными направлениями поверхности.

Главные направления поверхности являются главными направлениями индикатрисы Дюпена.

Определение. Кривая на поверхности, в каждой точке которой касательная направлена по главному направлению, называется линией кривизны поверхности.

Примеры. Параллели и меридианы поверхности вращения являются линиями кривизны.

Главные кривизны k₁ и k₂ в точке M поверхности являются корнями уравнения:

= 0

или: (EG – F²) k² – (EN + GL – 2MF) k + (LN – M²) = 0

Пример. Найти главные кривизны поверхности z = x² + y³ в точке М(1; 1; 2)

x = u u = 1, v = 1

y = v (1; 0; 2u) = (1; 0; 2) (0; 0; 2) (0; 0; 0)

z = u³ + v³ (0; 1; 3v²) = (0; 1; 3) (0; 0; 6v) = (0; 0; 6)

= = (–2; –3; 1) => | | =

(– ; – ; )

E = 1 + 4 = 5, F = 6; G = 10; L = ; M = 0; N =

EG – F² = 14; EN + GL – 2MF = + = , LN – M² =

14k² – k + = 0 => k_1,2 = ±