Криволинейные координаты на поверхности

Поверхности

Понятие поверхности

Определение. Элементарной поверхностью называется топологический (гомеоморфный) образ плоской области

Определение. Фигура в пространстве называется простой поверхностью, если окрестность каждой её точки является элементарной.

Примеры

Элементарные

поверхности Простые поверхности

Определение. Поверхностью называется любая фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных поверхностей.

Способы задания поверхностей

1) Векторное уравнение поверхности

= x + y + z –

= (u, v)

2) Параметрическое задание поверхности

x = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

3) z = f (x, y) – явное уравнение поверхности

4) F(x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности

Пример. (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² – неявное уравнение сферы

+ + = 1

x = a + R cos u cos v y = b + R sin u cos v z = c + R sin v

= cos u cos v – параметрическое задание сферы

= sin u cos v

= sin v

Криволинейные координаты на поверхности

x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

Если в параметрическом уравнении поверхности зафиксировать параметр u = u₀, то вектор-функция = (u₀, v) зависит только от v, тогда на поверхности получается гладкая линия, которую называют v-линией (g_v – координатная линия). Аналогично при фиксировании параметра v = v₀ получается координатная u-линия g_u.

В общем случае эти координатные линии покрывают всю поверхность.

Если известны u и v, то из параметрических уравнений можно вычислить координаты точки М(x, y, z), таким образом u и v называют криволинейными координатами точки М поверхности, а g_u и g_v – линиями криволинейной системы координат на поверхности. и – направляющие векторы касательных к g_u и g_v.

Пример. Параметры u и v на сфере имеют следующий смысл: u – долгота, v – полярное расстояние, отсчитываемое от северного полюса. Линии u = const и v = const представляют собой соответственно параллели и меридианы.

Угол между кривыми на поверхности

Пусть g₁ и g₂ – две гладкие линии на поверхности S, проходящие через точку М.

Углом между линиями g₁ и g₂ называют угол между касательными к этим линиям в их общей точке М.

Замечание. Обозначим через d и d символы дифференцирования вдоль линий g₁ и g₂ соответственно. Тогда и – векторы касательных к линиям g₁ и g₂ в точке М.

= du + dv

= du + dv

Угол j между g₁ и g₂ можно вычислить как угол между векторами и :

cos j = => cos j = =

= =>

cos j = (*)

Пример. Найти углы между кривыми v = u², v = 1, лежащими на поверхности

x = 5u + 4v, y = 4uv, z = 3v.

Найдем точки пересечения кривых g₁: v = u² и g₂: v = 1

u² = 1

u = ±1 M₁(1; 1), M₂(–1; 1)

g₁: v = u² и g₂: v = 1

dv = 2u du dv = 0

Найдем коэффициенты I: E, F, G в точке М₂:

(5; 4v; 0) = (5; 4; 0), (4; 4u; 3) = (4; –4; 3)

E = = 25 + 16 = 41; F = = 5 · 4 – 4 · 4 + 0 · 3 = 4; G = = 16 + 16 + 9 = 41. Подставив в (*), имеем: cos j₂ = =

= = =

Площадь области поверхности

Пусть F – поверхность с краем, удовлетворяющим следующим условиям:

1) F гомеоморфна замкнутому кругу;

2) F является частью некоторой гладкой поверхности Ф;

3) край поверхности F – кусочно-гладкая линия (т.е. гладкая во всех точках, за исключением конечного числа точек).

Для такой поверхности можно вычислить площадь. Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Теорема. Если поверхность F задана параметрическими уравнениями x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

S(F) = du dv,

где D – соответствующая поверхности F область изменения переменных u и v.

Следует из того, что S(F) =

Имеем: | ´ | = | | · | | sin Ð(a, b) = | | · | | = , тогда

| | = =

Пример. Найти площадь четырехугольника u = 0, u = a, v = 0, v = 1, расположенного на поверхности x = u cos v, y = u sin v, z = av.

Е = 1, F = 0, G = a² + u²

EG – F² = a² + u²

S = = = =

= = = ( ).

Замечание. Таким образом, зная первую квадратичную форму поверхности, можно решать следующие метрические задачи:

1) вычислить длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности;

2) вычислить угол между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности и имеющими общую точку;

3) вычислить площадь гладкой компактной поверхности.

Учитывая эти приложения первой квадратичной формы, её часто называют метрической формой данной поверхности.

Изометричные поверхности

Определение. Две поверхности S и S' называются изометричными, если между точками этих поверхностей можно установить такое биективное соответствие, при котором длины соответствующих кривых на поверхностях S и S' равны.

Обозначение: S S'

Если две поверхности изометричны, то говорят, что каждая из них получена изгибанием другой. Таким образом, изгибание поверхности – это такая деформация, при которой не изменяются длины кривых на поверхности.

Примеры.

1. Изгибание плоскости в двугранный угол или параболический цилиндр

2. Изгибание многогранного выпуклого угла (например, трехгранного) в коническую поверхность, которая имеет такую же развертку и плоский угол, что и данный многогранный угол

3. Если от сферы отсечь плоскостью сферический сегмент и отразить его зеркально относительно плоскости края, получим поверхность, изометричную сфере.

Теорема (признак изометричности поверхностей). Две регулярные поверхности S₁ и S₂, заданные на одной и той же области Q вектор-функциями (u, v) и (u, v) соответственно, изометричны тогда и только тогда, когда одинаковы коэффициенты первых квадратичных форм этих поверхностей

Доказательство

<=) Очевидно, так как длина дуги кривой зависит только от I.

=>) Пусть S₁ S₂ => существует изометрия f : S₁ ® S₂ и длины соответствующих дуг равны => I₁ = I₂ <=> dS₁² = dS₂²

Пусть g₁ – u₁-линия, g₂ – u₂-линия, g₁ ®g₂ =>

E₁du² + 2F₁du dv + G₁dv² = E₂du² + 2F₂du dv + G₂dv²

<=> E₁ = E₂, F₁ = F₂, G₁ = G₂

Геодезические линии

Определение. Линия на поверхности называется геодезической, если в каждой её точке геодезическая кривизна равна нулю.

( , , ) = 0 (в любой параметризации)

Свойства геодезической линии

1. Кривая g является геодезической тогда и только тогда, когда в каждой её точке, где кривизна k ¹ 0, имеет место соотношение || (вектор кривизны коллинеарен нормали).

2. Пусть g – линия касания двух поверхностей Ф₁ и Ф₂. g – геодезическая линия для Ф₁ тогда и только тогда, когда g – геодезическая линия для Ф₂.

3. Через каждую точку регулярной поверхности в любом направлении можно провести, причем единственную геодезическую линию.

4. Геодезическими линиями на сфере являются большие окружности и только они.

Пример. Найти геодезические линии на прямом круговом цилиндре:

х = R cos u, y = R sin u, z = v (0 £ u < 2p, –¥ < v < ¥)

(–R sin u, R cos u, 0), (0; 0; 1); (cos u; sin u; 0)

Пусть – параметризация линии, лежащей на цилиндре, то есть u = u(t),

v = v(t).

(–R sin u · u_t'; R cos u · u_t'; v_t');

(–R cos u (u_t')² – R sin u · ; –R sin u · (u_t')² + R cos u · ; )

( , , ) = 0 => u_t' – v_t' = 0

Решением этого дифференциального уравнения являются: u = at + b, v = ct + d.

Тогда на цилиндре геодезическими линиями будут:

x = R cos(at + b), y = R sin(at + b), z = ct + d – винтовые линии

Теорема (основное свойство геодезической линии). Если точки P и Q геодезической линии на поверхности Ф достаточно близки, дуга М₁М₂ этой линии является кратчайшей среди дуг всевозможных кривых на Ф с концами P и Q.

Замечание. Требование близости точек P и Q на геодезической линии существенно. Достаточно рассмотреть две дуги большой окружности на сфере с общими концами P и Q, не являющимися диаметрально противоположными точками. Одна из этих дуг является кратчайшей, а другая – нет.

Поверхности

Понятие поверхности

Определение. Элементарной поверхностью называется топологический (гомеоморфный) образ плоской области

Определение. Фигура в пространстве называется простой поверхностью, если окрестность каждой её точки является элементарной.

Примеры

Элементарные

поверхности Простые поверхности

Определение. Поверхностью называется любая фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных поверхностей.

Способы задания поверхностей

1) Векторное уравнение поверхности

= x + y + z –

= (u, v)

2) Параметрическое задание поверхности

x = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

3) z = f (x, y) – явное уравнение поверхности

4) F(x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности

Пример. (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² – неявное уравнение сферы

+ + = 1

x = a + R cos u cos v y = b + R sin u cos v z = c + R sin v

= cos u cos v – параметрическое задание сферы

= sin u cos v

= sin v

Криволинейные координаты на поверхности

x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

Если в параметрическом уравнении поверхности зафиксировать параметр u = u₀, то вектор-функция = (u₀, v) зависит только от v, тогда на поверхности получается гладкая линия, которую называют v-линией (g_v – координатная линия). Аналогично при фиксировании параметра v = v₀ получается координатная u-линия g_u.

В общем случае эти координатные линии покрывают всю поверхность.

Если известны u и v, то из параметрических уравнений можно вычислить координаты точки М(x, y, z), таким образом u и v называют криволинейными координатами точки М поверхности, а g_u и g_v – линиями криволинейной системы координат на поверхности. и – направляющие векторы касательных к g_u и g_v.

Пример. Параметры u и v на сфере имеют следующий смысл: u – долгота, v – полярное расстояние, отсчитываемое от северного полюса. Линии u = const и v = const представляют собой соответственно параллели и меридианы.