Возьмем правую часть равенства. Согласно закону ассоциативности

раскроем скобки и получим:

(АÈС)Ç(ВÈС)=АÇВÈСÇВÈАÇСÈСÇС=АÇВÈС (упростили используя

закон поглощения ). Из записи закона ассоциативности и закона

дистрибутивности видно, что один закон можно получить из другого,

заменив знаки “È” и “Ç”, следовательно, законы двойственны.

4. Закон поглощения

Если А содержится в В, то АÈB=В.

Согласно аксиоме объединения в результирующее множество входят элементы, принадлежащие хотябы одному А или В, а так как все А входят в В то справедливо:

АÈB=В

АÈАÇМ=А

Исходя из определения операции пересечения ясно, что АÇМ содержится в А.В итоге получаем А.

Следствие:

Если М=1, то АÈА=А

5. Свойство степени.

Если множество пересекается с самим собой, то из определения пересечения следует

АÇА=А

6. Законы де Моргана.

Эти законы позволяют выразить законы объединения и пересечения друг через друга с использованием операции дополнения :

а) АÈВ= Ç

Доказательство :

Обозначим через М: М=АÈВ и = Ç . Если теперь объединение М и даст единичное множество, то закон будет доказан.

М È = А È В È Ç = АÈ(В È )Ç(В È ). Используя определение дополнения получим :

М È = АÈВÈ =1ÈВ=1=I

б) АÇВ= È

Доказательство :

Обозначим через М: М=АÇВ и = È . Если теперь объединение М и даст единичное множество, то закон будет доказан.

М È = А Ç В È Ç =( È А) Ç (В È )È = ВÈ È =1È =1=I

Законы де Моргана так же являются двойственными.

АÇВ=АВ.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ.

1. АÌА

2. Если АÌВ и ВÌА, то А=В

3. Если АÌВ и ВÌС, то АÌС

4. Æ Ì A

5. А Ì I

6. А È В =В È А

7. А Ç В =В Ç А

8. АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС

9. АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС

10. А È А = А

11. А Ç(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС)

12. А È (ВÇС)=(АÈВ) Ç (АÈС)

13. А È Æ = А

14. А È I= I

15. А Ç I = A

16. А Ç A = A

17. А Ç Æ = Æ

18. Если АÌВ, то АÈВ=В, АÇВ=А

19. А È = I

20. A Ç = Æ

21. =I

22. =Æ

23. = A

24. Если АÌВ, то Ì

25. ( ) = Ç

26. ( ) = È

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

МНОЖЕСТВ.

Определим функцию от фрагментов, являющихся множествами. Функцией будем называть взаимооднозначное отображение элементов группы множеств А_i в элементы множества С. Если каждому элементу С соответствует некоторый элемент А_i, такую функцию называют всюду значимой

С = f (A_i)

f – функция переводит элементы A_i во множество С.

Если пересечение множеств обозначать как функциональную операцию Р , то

Р (А,В) = АВ

На единичном множестве 1 заданы множества А,В,С. В этом случае с помощью известной операции над множествами переводим исходное множество в какое-либо другое.

f (А,В,С) = АВС È А С È В È È АВ È AС È С È В;

Записанное выражение назовем формулой. Определим сложность формулы, как количество, содержащихся в ней исходных множеств. Для приведенного примера сложность =20. При аналазе формул первым вопросом является: «Можно ли уменьшить сложность формулы?» Сделаем это на примере применяя законы дистрибутивности и поглощения

f(А,В,С) = АВС È А È В È È А(В È С) È (В È С) =

= АВС È А È B È È В È С = ВÈ А È È С =

= È В È С = È =1

f(А,В,С) = АС È С È ВС È АВС È АВ È В = АС È С È В È АВ =

=В È АС È С;

Или :

F(А,В,С) = АС È С È ВС È АВС È АВ È В = АС È С È ВС È АВ È È В = АС È С È ВС È В = С È В

Как видно из примеров минимизация одних и тех же функций может дать разные результаты при применении одних и тех же законов.