Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной
В результате изучения раздела студент должен:
знать:
¾ определение первообразной;
¾ определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования;
¾ способы вычисления неопределенного интеграла;
¾ определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;
¾ способы вычисления определенного интеграла;
¾ понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;
уметь:
¾ находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;
¾ выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
¾ вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;
¾ находить площади криволинейных трапеций.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица интегралов.
|

Свойство первообразной.
Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство: .
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .
Согласно определению, .
Свойства неопределенного интеграла.
- Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
.
- Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.
- Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:
.
- Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
- Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
-
.
Таблица интегралов:
;
(при п ¹ –1);
;
(при а > 0, a ¹ 0);
;
;
;
(при
);
(при a ¹ 0);
;
;
(при a ¹ 0);
.
Приемы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, основанный на применении четвертого и пятого свойств неопределенного интеграла, называется методом разложения или методом непосредственного интегрирования.
Пример. Найдем:
1) , 2)
,
3) .
Решение.
1)Представим интеграл в виде суммы интегралов и, произведя вынесение коэффициентов за знак интеграла, сведем их к табличным:
2) Возведя в квадрат подынтегральное выражение, повторим операцию, рассмотренную в предыдущем примере:
3) Произведя почленное деление подынтегрального выражения на х3, получим:
Задание.Найти:
1)
_____________________________________________________________________________
Ответ: х2 + С
2)
_____________________________________________________________________________
Ответ: - 3sinx + С
Метод замены переменной
Один из основных методов интегрирования – метод замены переменной (или метод подстановки), описывается следующей формулой:
.
Однако, новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала) на основании теоремы:
Теорема. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Тогда , где k и b – некоторые числа, причем k ¹ 0.
Пример.Найдем 1) , 2)
Решение.
1)
|


Произведя подстановку, получим:
2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где
, то, применяя вышеназванную теорему, получим:
Задание.Найти
Решение. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:
Интегрирование по частям*
Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два множителя и и dv. При переходе к правой части первый их этих множителей дифференцируется, а второй интегрируется.
Пример. Найдем .
Решение.
Применим метод интегрирования по частям.
Положим, что . Тогда
.
Подставляя выражения в вышеуказанную формулу, получим:
Задание*. Найти
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:
Вопросы для самоконтроля
1. Какая функция называется первообразной для заданной функции?
2. Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?
3. Как записать всю совокупность первообразных?
4. Что называется неопределенным интегралом?
5. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?
6. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?
7. Как проверить результат интегрирования?
8. Какие вы знаете способы интегрирования и в чем они заключаются?
Контрольное задание
Найти интегралы:
__________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4*.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определенный интеграл
Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2,… и точек x1, x2,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a; b], обозначается
, а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на [a; b], т.е.
.
Свойства определенного интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.
.
4. Если на отрезке [a; b] f(x) £ g(x), то и £
.
5. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое значение x Î [a; b], что .
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) первообразная функцией для функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .
Пример.Вычислим следующие интегралы:
1) ; 2)
.
Решение. Эти задачи на непосредственное применение формулы Ньютона – Лейбница:
1) ;
2)
Задание.Вычислить
Решение.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: 3.
Задание.Вычислить
Решение.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: e - 1.
Метод замены переменной в определенном интеграле.
Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке
,
,
и функция
непрерывна в каждой точке вида
, где
. Тогда справедливо следующее равенство:
Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования.
Пример. Вычислим .
Решение.
Положим . Тогда
. Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов:
,
. Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим:
Задание. Вычислить
Решение.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: - 1.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле*
Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке
. Тогда
. Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример.Вычислим .
Решение.
Пусть ,
Тогда и
. Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в определенном интеграле, получим:
|

Вы заметили, что при расчете была введена переменная
.
Задание *. Вычислить
Решение.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: 8ln4 – 4 - .