Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону 
тогда ее средняя скорость за промежуток времени 
вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при 
, т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Пример. Найдем скорость движения материальной точки в момент времени t = 4, если закон движения задан формулой:
| |
Решение. Найдем по определению: 
, тогда 
Правила дифференцирования
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b) , то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1. 
2. 
3. 
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Формулы дифференцирования
| № п/п | ||||||||||
 | C | х | хп |  |  |  |  |  | ex | ax |
 | nxn-1 |  | cosx | -sin x |  |  | ex | ax  |
| № п/п | ||||||
| |  |  | arcsinx | arccosx | arctgx | arcctgx |
| |  |  |  |  |  |  |
Пример. Вычислим производные следующих функций, используя правила и формулы дифференцирования:
1. 
2. 
3. 
Решение.
Для решения первого примера используем правило вычисления производной алгебраической суммы функций и следствие:
Для решения второго и третьего примеров используем правила вычисления производных произведения и отношения функций и следствие:
| |
Задания.Вычислите производную функции:
1) 
Решение. _________________________________________________
Ответ: 
2) 
Решение. _________________________________________________
Ответ: 
3) 
Решение. _________________________________________________
Ответ: 
Производная сложной функции
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции 
и 
, причем область определения функции содержит область значений функции .
Функция, заданная формулой 
, называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Пример. Для функций 
и 
составим 
и 
.
Решение.
;
Вышеуказанный пример наглядно демонстрирует тот факт, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют. Рассмотрим теорему о производной сложной функции:
Теорема. Пусть функция , хÎ (a; b), имеет производную в точке х0 Î (a; b), а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную в точке 
. Тогда сложная функция 
имеет производную в точке х0,, которая вычисляется по формуле:
Пример. Найдем производные следующих функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) Полагаем, что 
, тогда 
. Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
2) Полагаем, что 
, тогда 
. Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
3) Имеем, что
Задание.Найдите производные следующих функций:
1) 
Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: 
2) 
Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: 
Дифференциал
Дифференциал 
функции 
– это главная часть приращения функции 
в точке х, так что 
, где 
– бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
,
где 
– дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
 Рис. 8 | Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение  (см. рис. 8). Приближенное равенство  используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения  заменяют приближением:  |