Площадь криволинейной фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной функции , слева и справа соответственно прямыми и , а снизу – осью Ox (рис. 1), вычисляется по формуле:

. (12.6)

Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно линиями и , слева и справа прямыми и , определяется по формуле:

. (12.7)

Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Oy, вычисляется по формуле:

. (12.8)

ТЕМА ЛЕКЦИИ № 9: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называется некоторая функциональная зависимость, содержащая переменную , искомую функцию и её производные, то есть

. (13.1)

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядкомэтого уравнения. Тогда (13.1) – ДУ -го порядка.

Следовательно, ДУ 1-го порядка имеет вид: . (13.2)

Если из (13.2) выразить , то получим ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной: . (13.3)

Решением ДУ называется такая функция , которая, будучи подставленной вместе со всеми своими производными до -го порядка в уравнение, обращает его в тождество.

Методом решения ДУ является интегрирование, а график решения ДУ называется интегральной кривой.

Процесс интегрирования для ДУ -го порядка повторяется раз. Следовательно, искомое решение будет содержать ровно констант интегрирования. Решение ДУ, содержащее константы интегрирования , называется общим решением ДУ:. (13.4)

Если данное решение получено в неявном виде , то оно называется общим интегралом.

Для ДУ 1-го порядка общий интеграл записывается в виде , а общее решение . (13.5)

Решение ДУ, получаемое из общего решения при конкретных значениях констант интегрирования, называется его частным решением (частным интегралом).

Решение ДУ, не получаемое из общего решения ни при каких значениях константы , называется особым.

С геометрической точки зрения общее решение ДУ 1-го порядка есть семейство интегральных кривых на плоскости ; особое решение представляет собой огибающую интегрального семейства; частное решение при – одна кривая из этого семейства, походящая через точку . Задать эту точку означает задать для данного дифференциального уравнения начальные условия:

или . (13.6)

Геометрически задание начальных условий подразумевает выделение из всего семейства интегральных кривых выделение именно той кривой, которая проходит через точку с координатами .

Если составить систему, состоящую из самого ДУ и заданных для него начальных условий, то получим задачу Коши для данного ДУ. Запишем задачу Коши для ДУ 1-го порядка:

. (13.7)

Аналогично можно записать задачи Коши для ДУ 2-го и -го порядка соответственно:

, (13.8)

………………………..

. (13.9)

Для того чтобы найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям, необходимо:

1) проинтегрировав ДУ, найти его общее решение (общий интеграл);

2) в общее решение (общий интеграл) подставить заданные начальные условия, получая при этом уравнение (систему уравнений) относительно констант интегрирования , где ;

3) решить уравнение относительно или систему уравнений относительно ;

4) найденные или подставить в общее решение ДУ 1-го или n-го порядка соответственно.

Пример.Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Учитывая, что , имеем или . Проинтегрировав данное уравнение , получим общее решение . Подставим в него начальные условия :

или . Данное значение константы подставим в общее решение: – искомое частное решение

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида

, (13.10)

причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: либо от переменной , либо от переменной

(13.11)

При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций и или обе – константы.

Запишем производную в виде и домножим обе части уравнения (13.11) на , получим

.

Следующим шагом попытаемся разделить переменные, то есть сделать так, чтобы каждая часть уравнения содержала бы функции и дифференциалы одной и той же переменной. Этого можно достичь путем деления обеих частей уравнения на :

(13.12)

Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое можно проинтегрировать, получив тем самым общее решение (общий интеграл) уравнения (13.11)

.

Замечание 1. При делении на мы можем потерять отдельные особые решения, обращающие функцию в нуль. Если же в уравнении (13.11) функция тождественно равна нулю, то очевидно, что решением уравнения будет некоторая константа .

Замечание 2. В некоторых случаях полученные интегралы не берутся в элементарных функциях, тем не менее, если существуют какие-то другие способы вычисления полученных интегралов, уравнение считается проинтегрированным.

Уравнение с разделяющимися переменными кроме виды (13.11) может иметь вид

(13.13)

Привести такое уравнение к уравнению с разделенными переменными можно делением обеих частей равенства на произведение :

Полученное равенство можно интегрировать.