Элементы математического программирования

Задача 37. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции.

37.1. 37.2.

37.3. 37.4.

37.5. 37.6.

37.7. 37.8.

37.9. 37.10

Задача 38.Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать материал только трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется кг материала первого сорта, кг материала второго сорта и кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида расходуется кг материала первого сорта, кг материала второго сорта, кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта кг, материала второго сорта кг, материала третьего сорта кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль руб., продукции вида В прибыль составляет руб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплекс-методом. Дать геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи.

38.1.

38.2.

38.3.

38.4.

38.5.

38.6.

38.7.

38.8.

38.9.

38.10.

Задача 39. Имеются три пункта поставки однородного груза пять пунктов потребления этого груза. На пунктах находится груз соответственно в количестве т. В пункты требуется доставить соответственно т груза.

Расстояние между пунктами потребления приведено в следующей матрице таблице:

Пункты поставки	Пункты потребления

Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

39.1.

39.2.

39.3.

39.4.

39.5.

39.6.

39.7.

39.8.

39.9.

39.10.

Решения типовых задач

Задача 1. Даны векторы , , и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим . Задача свелась, таким образом, к решению системы . Решим систему методом Гаусса. . Итак, система приведена к виду . Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т.е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т.е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса: .

.

Итак, система приведена к виду .

Находим . т.е. вектор .

Задача 2. Даны векторы , , , и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим .

Задача свелась, таким образом, к решению системы

Решим систему методом Гаусса.

. Итак, система приведена к виду .

Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т.е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т.е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса: .

.

Итак, система приведена к виду .

Находим , т.е. вектор .

Задача 3.Даны вершины треугольника : . Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник

Решение.

1) Длину стороны (длина вектора ) находим как расстояние между двумя точками плоскости и : .

Поэтому

2) Угол – это угол между векторами и . Координаты этих векторов: , . Таким образом .

Таким образом, получаем

3) Составим уравнение стороны : , или . Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или .

4) Пусть точка М середина стороны . Найдем ее координаты:

т. .

Уравнение медианы находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки: , получим .

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника . Например, выберем высоту, проведенную из вершины . Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или . Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений ; . Таким образом точка пересечения высот треугольника имеет координаты

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины по формуле расстояния от точки до прямой : : . Таким образом

7) Стороны треугольника заданы уравнениями прямых:

: ; (см. пункт 3).

: ; (см. пункт 5).

: ; ; .

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника лежит выше прямой , т.е. в полуплоскости, которая задается неравенством: . Прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству: . Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая , выбираем ту, которая задается неравенством: .

Таким образом, область треугольника , определяется системой неравенств:

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды :

. Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) угол между ребром и гранью ;

4) площадь грани ;

5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой ;

7) уравнение плоскости ;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение.

1) Длина ребра есть длина вектора , координаты которого Т.к. длина вектора находится по формуле , то .

2) Угол между ребрами и есть угол между векторами

=(-1,5,1) и =(4-6;4-1;10-1)=(-2;3;9), поэтому

Отсюда

3) Обозначим угол между ребром и гранью через , тогда , где – угол между вектором =(-2;3;9) и нормальным вектором плоскости , которым является, например, векторное произведение векторов и

Т.к. векторное произведение векторов =( ) и находится по формуле , то . Итак, . Найдем теперь угол

значит

или

4) Т.к. длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь S грани (площадь треугольника) найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. как половину длины векторного произведения этих векторов.

Т.к. (см. пункт 3), то

5) Т.к. объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах , находится по формуле , где - смешанное произведение векторов , то

. Найдем смешанное произведение векторов

и по формуле

:

(определитель вычислен по схеме треугольников). Итак, .

6) Т.к. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид , то уравнение прямой найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора : .

7) Т.к. уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид ( нормальный вектор плоскости), то уравнение плоскости найдем как уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором (см. пункт 3):

или

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора -нормального вектора плоскости (см. пункт 3): .

Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

Решение. Определитель матрицы

, значит обратная матрица существует. Найдем матрицу , транспонированную к : . Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы и составим из них присоединенную матрицу .

.

Найдем обратную матрицу :

.

Проверка:

.

.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы

Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей :

~ ~ ~

т.е. по теореме Кронекера–Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу приведем к диагональному виду:

тиии

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

.

Вычислим обратную матрицу . Определитель матрицы А , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них матрицу , транспонируем ее и находим обратную матрицу .

= .

Ответ:

Задача 7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (на ):

. Здесь учитывалось стремление к нулю дробей как обратных к бесконечно большим функциям.

б) Для раскрытия неопределенности умножим и разделим на выражение, сопряженное числителю, т.е. на :

=

.

Использовалась формула .

в) Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентностями (следствиями первого замечательного предела): и при и тем, что при вычислении предела частного можно одну бесконечно малую величину заменить на ей эквивалентную в этом процессе:

.

г) Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение, чтобы воспользоваться следствием второго замечательного предела:

.

=

.

Здесь бесконечно малой величиной является выражение .

Задача 8. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) при а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) а) .

б) Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:

.

в) Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (на ):

. Здесь учитывалось стремление к нулю дробей , как обратных к бесконечно большим функциям.

2) Для раскрытия неопределенности умножим и разделим на выражение, сопряженное знаменателю до разности квадратов

, т.е. на :

=

3) Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентностями (следствиями первого замечательного предела): и при и тем, что при вычислении предела частного можно одну бесконечно малую величину заменить на ей эквивалентную в этом процессе:

.

4) Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение, чтобы воспользоваться следствием второго замечательного предела:

.

Здесь бесконечно малой величиной является выражение .

Задача 9. Найти точки разрыва функции

Решение. Так как у данной функции нет точек, в которых она неопределенна, то точками разрыва могут быть либо нули знаменателя, либо точки в которых происходит смена аналитических выражений. В данном случае только точки и (в остальных точках данная функция непрерывна).

Выясним будет ли точкой разрыва данной функции. Для этого найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в данной точке:

.

Так как , то – точка разрыва, причем первого рода, поскольку оба односторонних предела конечные. Этот разрыв не устраним, т.к.

.

Точка есть точка разрыва данной функции второго рода, т.к.

.

В данном случае можно не вычислять.

Ответ: – точка разрыва первого рода,