Прямая в аффинной системе координат
Различные уравнения прямой
Говорят, что уравнение естьуравнение линии
, если выполняются два условия:
1) если точка принадлежит линии
, то ее координаты удовлетворяют уравнению
;
2) если координаты точки удовлетворяют уравнению
, то
.
Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2*):
2*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению
.
Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где
-многочленот переменных
и
, т.е. сумма членов вида
,
.
Число называетсястепенью члена
, где
.
Наивысшая степень членов многочлена называетсястепенью этого многочлена. Например, степень многочлена
равна 7.
Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена
.
Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.
Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через
. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 54).
Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.
Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .
l |
Рис. 54 |
![]() |
![]() |
Рис. 55 |
![]() |
d |
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая задана точкой
и направляющим вектором
(рис. 55). Этот факт будем обозначать так:
.
Если точка принадлежит прямой
, то
. Находим координаты вектора
. Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 50):
, если
;
, если
;
, если
.
Если , то
||
. Следовательно,
, если
;
, если
;
, если
.
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-53.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
(если
); (10)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-40.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-41.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-42.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-43.png)
Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
В уравнениях (10)-(12) - координаты фиксированной точки
прямой
;
- координаты направляющего вектора прямой
;
-текущие координаты произвольной точки прямой
.
2. Параметрическое уравнение прямой.
Пусть прямая задана точкой
и направляющим вектором
.
(рис. 54)
(по теореме о коллинеарных векторах).
![]() |
или (13)
Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называетсяпараметром. Геометрический смыслпараметра
состоит в следующем: для любой точки
существует единственный параметр
, удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно,
и
.
3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть (рис. 56). Тогда в качестве направляющего вектора прямой
можно взять вектор
, т.е.
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 56 |
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-87.png)
![]() |
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-84.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-91.png)
(14)
Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и
.
Заметим, что если или
, то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.
4. Уравнение прямой в «отрезках».
О |
y |
d |
x |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 57 |
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-101.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-26.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-103.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-104.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-105.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-106.png)
Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:
;
;
,
откуда получаем уравнение:
(15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».
Геометрический смыслаивв уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью
, в – ордината точки пересечения прямой
с осью
аффинной системы координат.
5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
О |
y |
d |
x |
![]() |
![]() |
Рис. 58 |
![]() |
М0 |
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-104.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-120.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-104.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-124.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-125.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-104.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-125.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-128.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-129.png)
Число называетсяугловым коэффициентом прямой
.
Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).
О |
y |
d |
x |
![]() |
![]() |
Рис. 59 |
![]() |
j |
j |
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-136.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-137.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-138.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-139.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-30.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-101.png)
![Прямая в аффинной системе координат Прямая в аффинной системе координат - student2.ru](/images/matematika/pryamaya-v-affinnoy-sisteme-koordinat-564321-142.png)
Пусть прямая задана точкой
и угловым коэффициентом
. Запишем каноническое уравнение прямой
:
и преобразуем его: ;
; учитывая, что
, получим:
(16)
Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть - угловой коэффициент прямой
. Применяя уравнение (16), получим:
, т.е.
. (17)
Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью
.