Числа, вычисления, алгебраические выражения

Числа

Вычисления

Алгебраические выражения

1.Значение ка­ко­го из вы­ра­же­ний является чис­лом рациональным?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Упростим каж­дое выражение.

1)

2)

3)

4)

Рациональным является значение первого выражения.

Ответ: 1

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2013 по математике.

Задание 4 № 137268

2.Расположите в порядке возрастания числа: ; ; 5,5.

1) 2)

3) 4)

Решение.

Возведём каждое из чисел в квадрат:

Сравним квадраты заданных чисел:

Следовательно,

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 137269

3.Расположите в порядке убывания числа: ; ; 5,5.

1) 2)

3) 4)

Решение.

Возведём каждое из чисел в квадрат:

Сравним квадраты заданных чисел:

Следовательно,

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 287934

4.Расположите в по­ряд­ке возрастания:

1) 3)

2) ; 4)

Решение.

Поскольку: получаем:

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 287943

5.Расположите в по­ряд­ке возрастания:

1) , , 2) , ,

3) , , 4) , ,

Решение.

Упростим за­дан­ные чис­ло­вые выражения:

Заметим, что По­это­му пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 287944

6.Расположите в по­ряд­ке убывания:

1) 2)

3) 4)

Решение.

Упростим за­дан­ные чис­ло­вые выражения:

Сравним по­лу­чен­ные дроби, при­ве­дя их к наи­мень­ше­му об­ще­му знаменателю:

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 311750

7.Укажите наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

1) 2) 3) 4)

Решение.

Чтобы от­ве­тить на вопрос, возведём в квад­рат числа

Поскольку имеем: Таким образом, наи­боль­шее число 5.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

Задание 4 № 314246

8.Срав­ни­те числа и 16.

1) 2)

3)

Решение.

В силу це­поч­ки неравенств

первое число мень­ше второго.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 314250

9.Какое из чисел боль­ше: или

1) 2)

3)

Решение.

В силу це­поч­ки неравенств

первое число боль­ше второго.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 314367

10.Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Возведём каж­дое число в квад­рат и срав­ним квадраты этих чисел:

Поскольку имеем:

Наименьшим яв­ля­ет­ся вы­ра­же­ние под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 314377

11.В каком слу­чае числа и 6 рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке возрастания?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Числа положительны, возведём их в квад­рат и срав­ним квад­ра­ты этих чисел:

Поскольку имеем:

Числа рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния во вто­ром ва­ри­ан­те ответа.

Ответ: 2

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 314448

12.Срав­ни­те числа и 12.

1) 2)

3)

Решение.

В силу це­поч­ки неравенств

первое число мень­ше второго.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 314453

13.Какое из чисел боль­ше: или ?

1) 2)

3)

Решение.

В силу це­поч­ки неравенств

первое число мень­ше второго.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 316557

14.Зна­че­ние ка­ко­го из вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся чис­лом ир­ра­ци­о­наль­ным?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Упростим каж­дое выражение.

1)

2)

3)

4)

Иррациональным яв­ля­ет­ся зна­че­ние четвёртого выражения.

Ответ: 4

Задание 4 № 316603

15.Расстояние от Юпи­те­ра — одной из пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы — до Солн­ца равно 778,1 млн км. Как эта ве­ли­чи­на за­пи­сы­ва­ет­ся в стан­дарт­ном виде?

1) 7,781·10¹¹ 2) 7,781·10⁸

3) 7,781·10¹⁰ 4) 7,781·10⁹

Решение.

Число, за­пи­сан­ное в стан­дарт­ном виде, имеет вид: где Пре­об­ра­зу­ем число к стан­дарт­но­му виду:

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 316624

16.На ру­ло­не обоев име­ет­ся над­пись, га­ран­ти­ру­ю­щая, что длина по­лот­на обоев на­хо­дит­ся в пре­де­лах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь по­лот­но при этом усло­вии?

1) 10,23 2) 10,05 3) 9,96 4) 10,03

Решение.

Запись, приведённая в усло­вии, указывает на то, что длина ру­ло­на обоев на­хо­дит­ся в пре­де­лах от 9,95 м до 10,05 м. В этот ин­тер­вал не по­па­да­ет значение 10,23.

Правильный ответ ука­зан под номером: 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 317295

17.Какое из чисел яв­ля­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ным?

1) 2) 3) 4) ни одно из этих чисел

Решение.

Преобразуем числа:

Корень из 10 яв­ля­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ным числом, по­это­му число — ир­ра­ци­о­наль­но.

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Ответ: 3

Задание 4 № 317301

18.Какое из чисел яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным?

1) 2) 3) 4) Все эти числа ир­ра­ци­о­наль­ны.

Решение.

Преобразуем числа:

Корень из 10 яв­ля­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ным числом, по­это­му числа и ир­ра­ци­о­наль­ны. Число яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным числом.

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 317368

19.Зна­че­ние ка­ко­го из чисел яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Возведём числа в квадрат:

Сравним квад­ра­ты этих чисел. Заметим, что следовательно,

Таким образом, наи­боль­шее число указано под но­ме­ром 3.

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Ответ: 3

Задание 4 № 317586

20.Какое из сле­ду­ю­щих чисел яв­ля­ет­ся наи­мень­шим?

1) 1,7·10⁻³ 2) 2,3·10⁻⁴ 3) 4,5·10⁻³ 4) 8,9·10⁻⁴

Решение.

Числа здесь пред­став­ле­ны в стан­дарт­ном виде. По­это­му из них наи­мень­шим будет то, ко­то­рое имеет наи­мень­ший по­ка­за­тель сте­пе­ни десяти. Если по­ка­за­те­ли равны, то наи­мень­шим будет число, име­ю­щее наи­меньшую мантиссу. Таким образом, среди представ­лен­ных чисел наи­мень­шее —

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 317587

21.Какое из сле­ду­ю­щих чисел яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

1) 1,8·10⁻³ 2) 4,7·10⁻⁴ 3) 2,9·10⁻⁵ 4) 9,5·10 ⁻³

Решение.

Числа здесь пред­став­ле­ны в стан­дарт­ном виде. По­это­му из них наибольшим будет то, ко­то­рое имеет наибольший по­ка­за­тель сте­пе­ни десяти. Если по­ка­за­те­ли равны, то наибольшим будет число, име­ю­щее наибольшую мантиссу. Таким образом, получаем, что среди представ­лен­ных чисел наи­боль­шее —

Правильный ответ указан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 317728

22.Масса Луны равна 7,35·10²² кг. Вы­ра­зи­те массу Луны в млн тонн.

1) 7,35⋅10¹⁰ млн т 2) 7,35⋅10¹³ млн т

3) 7,35⋅10¹⁶ млн т 4) 7,35⋅10¹⁹ млн т

Решение.

В одной тонне 10³ кг, 1 мил­ли­он — это 10⁶. Пре­об­ра­зу­ем представленное в усло­вии число:

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 317741

23.Чис­лен­ность на­се­ле­ния Китая со­став­ля­ет 1,3·10⁹ че­ло­век, а Вьет­на­ма — 8,5·10⁷ че­ло­век. Во сколь­ко раз чис­лен­ность на­се­ле­ния Китая боль­ше чис­лен­но­сти на­се­ле­ния Вьет­на­ма?

1) примерно в 6,5 раз 2) примерно в 15 раз

3) примерно в 150 раз 4) примерно в 1,5 раза

Решение.

Разделим чис­лен­ность на­се­ле­ния Китая на чис­лен­ность на­се­ле­ния Вьетнама:

Таким образом, чис­лен­ность на­се­ле­ния Китая при­мер­но в 15 раз боль­ше чис­лен­но­сти на­се­ле­ния Вьетнама.

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 317753

24.Рас­сто­я­ние от Земли до Солн­ца равно 147,1 млн км. В каком слу­чае за­пи­са­на эта же ве­ли­чи­на?

1) 1,471⋅10¹⁰ км 2) 1,471⋅10⁸ км

3) 1,471⋅10⁷ км 4) 1,471⋅10⁶ км

Решение.

Запишем 141,7 млн в стандартом виде:

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 318729

25.Зна­че­ние ка­ко­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным чис­лом?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Преобразуем выражения:

Числа яв­ля­ют­ся иррациональными, по­это­му первое, вто­рое и четвёртое вы­ра­же­ния иррациональны. Число 6 можно пред­ста­вить в виде дроби по­это­му оно рационально.

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Ответ: 3

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 318753

26.Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Возведём числа в квадрат:

Заметим, что по­это­му Таким образом, — наименьшее из пред­став­лен­ных чисел.

Правильный ответ ука­зан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 337271

27.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

1) 2) 3) 4)

Решение.

Используем свой­ства степени:

Правильный ответ ука­зан под номером: 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 337291

28.В ла­бо­ра­то­рию ку­пи­ли элек­трон­ный микроскоп, ко­то­рый даёт воз­мож­ность раз­ли­чать объ­ек­ты раз­ме­ром до Вы­ра­зи­те эту ве­ли­чи­ну в миллиметрах.

1) 0,002 2) 0,0002 3) 0,00002 4) 0,000002

Решение.

Вспомним, что в одном сан­ти­мет­ре 10 миллиметров:

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Ответ: 3

Задание 4 № 337311

29.Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число

1) 8 и 9 2) 72 и 74 3) 24 и 26 4) 4 и 5

Решение.

Сравним квад­ра­ты приведённых в усло­вии чисел:

Число 73 лежит между чис­ла­ми 64 и 81, по­это­му за­клю­че­но между чис­ла­ми 8 и 9.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 337389

30.Какое из дан­ных чисел при­над­ле­жит промежутку [6; 7]?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Возведём все числа в квадрат:

Заметим, что следовательно, Таким образом, число при­над­ле­жит промежутку [6; 7].

Правильный ответ ука­зан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 342023

31.Значение какого из выражений является числом иррациональным?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Найдем значения выражений:

1)

2)

3)

4)

Иррациональным является значение выражения, указанного под номером 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 348601

32.Площадь территории России составляет км , а Нигерии - км . Во сколько раз площадь территории России больше площади территории Нигерии?

1) примерно в 18 раз 2) примерно в 180 раз

3) примерно в 1,8 раза 4) примерно в 5,4 раза

Решение.

Площадь тер­ри­то­рии России при­мер­но в раз боль­ше площади Нигерии. Правильный ответ ука­зан под номером: 1.

Ответ: 1

Ответ: 1

Задание 4 № 348955

33.Площадь тер­ри­то­рии России со­став­ля­ет 1,7 · 10⁷ км², а Великобритании — 2,6⋅10⁵ км². Во сколь­ко раз пло­щадь территории Рос­сии больше пло­ща­ди территории Великобритании?

1) примерно в 65 раз 2) примерно в 650 раз

3) примерно в 6,5 раза 4) примерно в 1,5 раза

Решение.

Площадь тер­ри­то­рии России при­мер­но в раз боль­ше площади Великобритании.

Ответ: 1

Ответ: 1

Задание 4 № 351591

34.В ла­бо­ра­то­рию ку­пи­ли элек­трон­ный микроскоп, ко­то­рый даёт воз­мож­ность раз­ли­чать объ­ек­ты раз­ме­ром до Вы­ра­зи­те эту ве­ли­чи­ну в миллиметрах.

1) 0,0000027 2) 0,000027 3) 0,00027 4) 0,027

Вычисления

1.Найдите значение выражения

1) 2) 3) 4) 4

Решение.

Последовательно получаем:

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 137281

2.Вычислите:

1) 2) 3) 4)

Решение.

Используя формулы и получаем:

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 137285

3.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Решение.

Упростим выражение, раз­ло­жив под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния на мно­жи­те­ли и вы­не­сем за знак корня пол­ные квад­ра­ты чисел:

Ответ: 220.

Ответ: 220

Задание 4 № 316255

4.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния при а = 6.

Решение.

Упростим выражение:

(при ).

Найдём зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния при

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

0,5

Источник: Ди­а­гно­сти­че­ская работа 01.10.2013 Ва­ри­ант МА90106

Задание 4 № 317389

5.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

1) 5 2) 3) 4) 40

Решение.

Найдём зна­че­ние выражения:

Правильный ответ ука­зан под номером: 1.

Ответ: 1

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 318630

6.Чему равно зна­че­ние вы­ра­же­ния

.

1) 6 2) 12 3) 18 4) 36

Решение.

Используем свойства степени:

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Ответ: 3

Задание 4 № 333111

7.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Решение.

Приведём к общему знаменателю:

Ответ: 2,18.

Ответ: 2,18

2,18

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90605

Задание 4 № 337339

8.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

1) 198 2) 3) 3564 4) 2178

Решение.

Найдём зна­че­ние выражения:

Правильный ответ ука­зан под номером: 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 337462

9.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

1) 360 2) 3) 4)

Решение.

Найдём зна­че­ние выражения:

Правильный ответ ука­зан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 337692

10.Найдите зна­че­ние выражения (1,7 · 10^− 5)(2 · 10^− 2).

1) 0,0000034 2) 34000000000

3) 0,000000034 4) 0,00000034

Решение.

Раскроем скоб­ки и пе­ре­груп­пи­ру­ем множители:

Правильный ответ ука­зан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 337700

11.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

1) 2) 3) 4) 90

Решение.

Найдём зна­че­ние выражения:

Правильный ответ ука­зан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 337782

12.Найдите зна­че­ние выражения

1) 2) 22 3) 4)

Решение.

Применим фор­му­лу квадрата суммы:

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Ответ: 3

Задание 4 № 341194

13.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

1) 2600000 2) 0,000026 3) 0,0000026 4) 0,00026

Решение.

Раскроем скоб­ки и пе­ре­груп­пи­ру­ем множители:

Правильный ответ ука­зан под номером: 2.

Ответ: 2

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 349896

14.Найдите значение выражения

1) 2) 3) 4)

Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 2

Ответ: 2

Задание 4 № 352963

15.Какое из данных ниже чисел является значением выражения ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 2

Ответ: 2

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 4 № 353384

16.Найдите значение выражения

Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 1951,1

Ответ: 1951,1

1951,1

Задание 4 № 355406

17.Какое из данных ниже чисел является значением выражения

1) 16 2) 3) −16 4)

Алгебраические выражения

1.Какое из следующих выражений равно ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 137276

2.Какое из следующих выражений равно ?

.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Пользуясь свойствами степеней получаем:

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

Задание 4 № 137278

3.Представьте выражение в виде степени с основанием c.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Используя формулы и , получаем:

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 137279

4.Представьте выражение в виде степени с основанием x.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Используя формулы получаем:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

Задание 4 № 137280

5.Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

1) −125 2) 125 3) 4)

Решение.

Упростим вы­ра­же­ние ис­поль­зуя фор­му­лы , и :

Подставим зна­че­ние :

Правильный ответ указан под номером: 2.

Ответ: 2

Задание 4 № 137292

6.Сравните числа x и y, если , . В ответ запишите большее число.

Решение.

Приведем второе число к де­ся­тич­но­му виду и сравним. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

Тем самым,

Ответ: 0,000064.

Ответ: 0,000064

0,000064

Задание 4 № 318723

7.Ка­ко­му из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний равна дробь

1) 2) 3) 4)

Решение.

Используем свойства степени:

Правильный ответ ука­зан под номером: 4.

Ответ: 4

Задание 4 № 338098

8.Представьте вы­ра­же­ние в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем

1)