Задачи и упражнения по теории вероятностей

(Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»)

681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

682.Независимо друг от друга работает несколько топливных насосов. Расчетная вероятность прорыва горючего из трубопровода за время работы насоса составляет РГОР=0,01, вероятность образования окислительной атмосферы РОК=0,055, вероятность возникновения искры РИ=0,008. Сколько насосов могут работать одновременно, чтобы вероятность возникновения пожара не превысила 0,125?

683.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 15; 10 и 30 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,04; 0,025 и 0,02 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен третьим заводом.

684.На территории региона работают 5 атомных станций. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,003; с выходом из строя электрооборудования – 0,004; прорывом трубопроводов – 0,005. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

685.Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,8; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,9. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,6; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,9. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.

686.В цехе предполагается разместить несколько технологических установок. Расчетная вероятность пожара на каждой из них в течение года равна РУСТ=0,015. Вероятность пожара в объеме помещения цеха равна РОБ=0,035. Сколько установок можно разместить в помещении цеха, если необходимо, чтобы вероятность пожара в течение года не превысила Р=0,02?

687. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,04. При наличии загорания сигнализация срабатывает с вероятностью РС=0,8. Вероятность ложного срабатывания равна РОШ=0,015. Найти вероятность того, что очаг пожара окажется незамеченным.

688. В цеху работают две технологических установки. Причиной аварии может быть пожар в объеме помещения цеха или загорание установки. Расчетная вероятность возникновения пожара в течение года равна: в помещении цеха – 0,03; на установке – 0,05. Найти вероятность пожара в цехе в течение года.

689.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 10; 20 и 25 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,025; 0,02 и 0,04 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом.

690.На территории региона 6 лесных хозяйств. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,09. Построить график функции распределения для числа хозяйств, в которых ежегодно бывают пожары.

691.На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.

692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

693.Независимо друг от друга работает несколько топливных насосов. Расчетная вероятность прорыва горючего из трубопровода за время работы насоса составляет РГОР=0,07, вероятность образования окислительной атмосферы РОК=0,05, вероятность возникновения искры РИ=0,08. Сколько насосов могут работать одновременно, чтобы вероятность возникновения пожара не превысила 0,15?

694.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 5; 15 и 25 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,08; 0,09 и 0,01 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен вторым заводом.

695.На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

696.Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,7; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,3. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,7; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,4. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.

697.В цехе предполагается разместить несколько технологических установок. Расчетная вероятность пожара на каждой из них в течение года равна РУСТ=0,025. Вероятность пожара в объеме помещения цеха равна РОБ=0,045. Сколько установок можно разместить в помещении цеха, если необходимо, чтобы вероятность пожара в течение года не превысила Р=0,03?

698. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,06. При наличии загорания сигнализация срабатывает с вероятностью РС=0,4. Вероятность ложного срабатывания равна РОШ=0,03. Найти вероятность того, что очаг пожара окажется незамеченным.

699. В цеху работают две технологических установки. Причиной аварии может быть пожар в объеме помещения цеха или загорание установки. Расчетная вероятность возникновения пожара в течение года равна: в помещении цеха – 0,06; на установке – 0,09. Найти вероятность пожара в цехе в течение года.

700.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 20; 25 и 35 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,02; 0,07 и 0,15 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом.

701. В диспетчерскую УГПС поступают вызовы с частотой 4 вызова за 15 минут. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит не более одного вызова.

702. Известно, что в среднем один из каждых десяти огнетушителей неисправен. Ведется проверка партии огнетушителей до первого неисправного. Найти вероятность того, что будет проверено не более 3-х огнетушителей.

703. На территории региона 10 лесных хозяйств. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,1. Найти вероятность того, что пожар в течение года будет иметь место в 5-ти лесных хозяйствах.

704. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

706.Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) два узла; б) не менее двух узлов.

707. Партия огнетушителей содержит 0,1% бракованных. Какова вероятность при случайном отборе 2000 огнетушителей обнаружить 5 бракованных?

708. Вероятность появления бракованного огнетушителя равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных огнетушителей окажется 3 бракованных.

709.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента

710. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

711. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

712. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

713. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

714. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

715. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

716. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

717. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

718. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

719. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

720. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

В задачах 721-730 дана вероятность р появления события А в каждом из п независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m1 раз и не более m2 раза.

721. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

722. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

723. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

724. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

725. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

726. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

727. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

728. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

729. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

730. задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

731. а=50, s=5, a=45, b=52, d=2.
732. а=20, s=3, a=17, b=26, d=1,5.
733. а=36, s=4, a=30, b=40, d=2.
734. а=60, s=5, a=54, b=70, d=8.
735. а=48, s=4, a=45, b=56, d=3.
736. а=30, s=3, a=24, b=33, d=1,5.
737. а=35, s=4, a=27, b=37, d=2.
738. а=45, s=5, a=40, b=48, d=3.
739. а=40, s=3, a=34, b=43, d=1,5.
740. а=25, s=2, a=20, b=27, d=1.

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

741. Х
  р 0,3 0,2 0,4 0,1
742. Х
  р 0,2 0,4 0,3 0,1
743. Х
  р 0,2 0,2 0,5 0,1
744. Х
  р 0,1 0,5 0,3 0,1
745. Х
  р 0,2 0,4 0,3 0,1
746. Х
  р 0,1 0,5 0,2 0,2
747. Х
  р 0,1 0,2 0,5 0,2
748. Х
  р 0,1 0,4 0,2 0,3
749. Х
  р 0,1 0,3 0,4 0,2
750. Х
  р 0,2 0,4 0,3 0,1
751. Х
  р 0,2 0,3 0,1 0,4
752. Х
  р 0,2 0,3 0,4 0,1
753. Х
  р 0,2 0,3 0,1 0,4
754. Х
  р 0,2 0,1 0,5 0,2
755. Х
  р 0,1 0,2 0,4 0,3
756. Х
  р 0,2 0,3 0,4 0,1
757. Х
  р 0,3 0,5 0,1 0,1
758. Х
  р 0,1 0,4 0,3 0,2
759. Х
  р 0,1 0,2 0,2 0,5
760. Х
  р 0,1 0,3 0,2 0,4

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

(Контрольная работа № 8 «Математическая статистика»)

Задачи 761-765. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, заданная вариантами хi и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

761. варианта хi
частота ni
762. варианта хi
частота ni
763. варианта хi
частота ni
764. варианта хi
частота ni
765. варианта хi
частота ni

Задачи 766-770. По выборке объема n найдена смещенная оценка задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

766. n=36 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =5
767. n=50 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =4
768. n=25 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =0,5
769. n=75 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =0,7
770. n=30 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =2,5

Задачи 771-775. В итоге измерения длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены результаты в виде таблицы.

Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и направленную дисперсии ошибок прибора.

771. х1 х2 х3 х4 х5
772. х1 х2 х3 х4 х5
773. х1 х2 х3 х4 х5
774. х1 х2 х3 х4 х5
775. х1 х2 х3 х4 х5

Задачи 776-780. Результаты измерения роста отобранных 100 человек приведены в таблицах. Принимая середины интервалов в качестве вариант, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных.

776.

рост 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182
число человек

777.

рост 150-154 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178
число человек

778.

рост 152-156 156-160 160-164 164-168 168-172 172-176 176-180
число человек

779.

рост 156-160 160-164 164-168 168-172 172-176 176-180 180-184
число человек

780.

рост 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182 182-186
число человек

Задачи 781-785. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью p неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение s , выборочная средняя задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru , и объем выборки n.

781. р=0,95 s =7 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =13 n=27
782. р=0,97 s=5 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =14 n=30
783. р=0,99 s =4 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =10,5 n=20
784. р=0,96 s =4 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =16,8 n=25
785. р=0,98 s=6 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =30 n=30

Задачи 786-790. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

786. значение признака хi -5 -1
частота ni
787. значение признака хi -4 -2
частота ni
788. значение признака хi -3 -1
частота ni
789. значение признака хi -5 -3
частота ni
790. значение признака хi -2 -1
частота ni

Задачи 791-795. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Оценить с надежностью g математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности при помощи доверительного интервала.

791. значение признака хi -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,9 1,0 1,2 1,6
частота ni
g =0,95  
792. значение признака хi -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,9 1,1 1,5
частота ni
g=0,99  
793. значение признака хi -0,7 -0,3 -0,2 0,0 0,1 0,3 0,5 0,6 0,9 1,2
частота ni
g =0,99  
794. значение признака хi -1,0 -0,8 -0,7 -0,5 0,0 0,4 0,7 0,9 1,1 1,4
частота ni
g =0,95  
795. значение признака хi -0,8 -0,7 -0,3 0,0 0,2 0,3 0,4 0,9 1,1 1.3
частота ni
g =0,99  

Задачи 796-800. По данным n независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru и исправленное среднее квадратическое отклонение s. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью g.

796. n=19 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =33,1 s=7 g =0,999
797. n=15 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =15,6 s=3 g =0,95
798. n=25 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =23,2 s=4 g =0,99
799. n=100 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =12 s=5 g =0,95
800. n=50 задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru =15,6 s=4 g =0,99

Задачи 801-820. Построить полигон частот и эмпирическую функцию по заданному распределению выборки.

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию данного распределения выборки.

Вычислить ассиметрию и эксцесс заданного распределения. Для расчетов применить метод сумм.

801. хi
ni
802. хi
ni
803. хi
ni
804. хi
ni
805. хi
ni
806. хi
ni
807. хi
ni
808. хi
ni
809. хi
ni
810. хi
ni
811. хi
ni
812. хi
ni
813. хi
ni
814. хi
ni
815. хi
ni
816. хi
ni
817. хi
ni
818. хi
ni
819. хi
ni
820. хi
ni

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Значение функции задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

х
0,0 0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
                     
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
                     
1,0 0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
                     
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
                     
2,0 0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
                     
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
                     
3,0 0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
                     
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Таблица 2

Значение функции задачи и упражнения по теории вероятностей - student2.ru

Наши рекомендации

х Ф (х) х Ф (х) х Ф (х) х Ф (х)
0,00 0,0000 0,20 0,0793 0,40 0,1554 0,60 0,2257
0,01 0,0040 0,21 0,0832 0,41 0,1591 0,61 0,2291
0,02 0,0080 0,22 0,0871 0,42 0,1628 0,62 0,2324
0,03 0,0120 0,23 0,0910 0,43 0,1664 0,63 0,2357
0,04 0,0160 0,24 0,0948 0,44 0,1700 0,64 0,2389
               
0,05 0,0199 0,25 0,0987 0,45 0,1736 0,65 0,2422
0,06 0,0239 0,26 0,1026 0,46 0,1772 0,66 0,2454
0,07 0,0279 0,27 0,1064 0,47 0,1808 0,67 0,2486
0,08 0,0319 0,28 0,1103 0,48 0,1844 0,68 0,2517
0,09 0,0359 0,29 0,1141 0,49 0,1879 0,69 0,2549
               
0,10 0,0398 0,30 0,1179 0,50 0,1915 0,70 0,2580
0,11 0,0438 0,31 0,1217 0,51 0,1950 0,71 0,2611
0,12 0,0478 0,32 0,1255 0,52 0,1985 0,72 0,2642
0,13 0,0517 0,33 0,1293 0,53 0,2019 0,73 0,2673
0,14 0,0557 0,34 0,1331 0,54 0,2054 0,74 0,2703
               
0,15 0,0596 0,35 0,1368 0,55 0,2088 0,75 0,2734
0,16 0,0636 0,36 0,1406 0,56 0,2123 0,76 0,2764
0,17 0,0675 0,37 0,1443 0,57 0,2157 0,77 0,2794
0,18 0,0714 0,38 0,1480 0,58 0,2190 0,78 0,2823
0,19 0,0753 0,39 0,1517 0,59 0,2224 0,79 0,2852
               
0,80 0,2881 1,15 0,3749 1,50 0,4332 1,85 0,4678
0,81 0,2910 1,16 0,3770 1,51 0,4345 1,86 0,4686
0,82 0,2939 1,17 0,3790 1,52 0,4357 1,87 0,4693
0,83 0,2967 1,18 0,3810 1,53 0,4370