Задачи и упражнения по теории вероятностей
(Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»)
681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.
682.Независимо друг от друга работает несколько топливных насосов. Расчетная вероятность прорыва горючего из трубопровода за время работы насоса составляет РГОР=0,01, вероятность образования окислительной атмосферы РОК=0,055, вероятность возникновения искры РИ=0,008. Сколько насосов могут работать одновременно, чтобы вероятность возникновения пожара не превысила 0,125?
683.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 15; 10 и 30 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,04; 0,025 и 0,02 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен третьим заводом.
684.На территории региона работают 5 атомных станций. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,003; с выходом из строя электрооборудования – 0,004; прорывом трубопроводов – 0,005. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.
685.Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,8; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,9. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,6; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,9. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.
686.В цехе предполагается разместить несколько технологических установок. Расчетная вероятность пожара на каждой из них в течение года равна РУСТ=0,015. Вероятность пожара в объеме помещения цеха равна РОБ=0,035. Сколько установок можно разместить в помещении цеха, если необходимо, чтобы вероятность пожара в течение года не превысила Р=0,02?
687. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,04. При наличии загорания сигнализация срабатывает с вероятностью РС=0,8. Вероятность ложного срабатывания равна РОШ=0,015. Найти вероятность того, что очаг пожара окажется незамеченным.
688. В цеху работают две технологических установки. Причиной аварии может быть пожар в объеме помещения цеха или загорание установки. Расчетная вероятность возникновения пожара в течение года равна: в помещении цеха – 0,03; на установке – 0,05. Найти вероятность пожара в цехе в течение года.
689.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 10; 20 и 25 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,025; 0,02 и 0,04 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом.
690.На территории региона 6 лесных хозяйств. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,09. Построить график функции распределения для числа хозяйств, в которых ежегодно бывают пожары.
691.На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.
692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.
693.Независимо друг от друга работает несколько топливных насосов. Расчетная вероятность прорыва горючего из трубопровода за время работы насоса составляет РГОР=0,07, вероятность образования окислительной атмосферы РОК=0,05, вероятность возникновения искры РИ=0,08. Сколько насосов могут работать одновременно, чтобы вероятность возникновения пожара не превысила 0,15?
694.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 5; 15 и 25 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,08; 0,09 и 0,01 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен вторым заводом.
695.На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.
696.Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,7; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,3. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,7; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,4. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.
697.В цехе предполагается разместить несколько технологических установок. Расчетная вероятность пожара на каждой из них в течение года равна РУСТ=0,025. Вероятность пожара в объеме помещения цеха равна РОБ=0,045. Сколько установок можно разместить в помещении цеха, если необходимо, чтобы вероятность пожара в течение года не превысила Р=0,03?
698. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,06. При наличии загорания сигнализация срабатывает с вероятностью РС=0,4. Вероятность ложного срабатывания равна РОШ=0,03. Найти вероятность того, что очаг пожара окажется незамеченным.
699. В цеху работают две технологических установки. Причиной аварии может быть пожар в объеме помещения цеха или загорание установки. Расчетная вероятность возникновения пожара в течение года равна: в помещении цеха – 0,06; на установке – 0,09. Найти вероятность пожара в цехе в течение года.
700.На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 20; 25 и 35 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,02; 0,07 и 0,15 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом.
701. В диспетчерскую УГПС поступают вызовы с частотой 4 вызова за 15 минут. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит не более одного вызова.
702. Известно, что в среднем один из каждых десяти огнетушителей неисправен. Ведется проверка партии огнетушителей до первого неисправного. Найти вероятность того, что будет проверено не более 3-х огнетушителей.
703. На территории региона 10 лесных хозяйств. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,1. Найти вероятность того, что пожар в течение года будет иметь место в 5-ти лесных хозяйствах.
704. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.
706.Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) два узла; б) не менее двух узлов.
707. Партия огнетушителей содержит 0,1% бракованных. Какова вероятность при случайном отборе 2000 огнетушителей обнаружить 5 бракованных?
708. Вероятность появления бракованного огнетушителя равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных огнетушителей окажется 3 бракованных.
709.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента
710. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
711.
712.
713.
714.
715.
716.
717.
718.
719.
720.
В задачах 721-730 дана вероятность р появления события А в каждом из п независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m1 раз и не более m2 раза.
721.
722.
723.
724.
725.
726.
727.
728.
729.
730.
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
731. | а=50, | s=5, | a=45, | b=52, | d=2. |
732. | а=20, | s=3, | a=17, | b=26, | d=1,5. |
733. | а=36, | s=4, | a=30, | b=40, | d=2. |
734. | а=60, | s=5, | a=54, | b=70, | d=8. |
735. | а=48, | s=4, | a=45, | b=56, | d=3. |
736. | а=30, | s=3, | a=24, | b=33, | d=1,5. |
737. | а=35, | s=4, | a=27, | b=37, | d=2. |
738. | а=45, | s=5, | a=40, | b=48, | d=3. |
739. | а=40, | s=3, | a=34, | b=43, | d=1,5. |
740. | а=25, | s=2, | a=20, | b=27, | d=1. |
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
741. | Х | ||||
р | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | |
742. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | |
743. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 0,1 | |
744. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 | |
745. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | |
746. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 | |
747. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 | |
748. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,3 | |
749. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | |
750. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | |
751. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
752. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | |
753. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
754. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,1 | 0,5 | 0,2 | |
755. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | |
756. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | |
757. | Х | ||||
р | 0,3 | 0,5 | 0,1 | 0,1 | |
758. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | |
759. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | |
760. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(Контрольная работа № 8 «Математическая статистика»)
Задачи 761-765. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, заданная вариантами хi и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.
761. | варианта хi | ||||
частота ni | |||||
762. | варианта хi | ||||
частота ni | |||||
763. | варианта хi | ||||
частота ni | |||||
764. | варианта хi | ||||
частота ni | |||||
765. | варианта хi | ||||
частота ni |
Задачи 766-770. По выборке объема n найдена смещенная оценка генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
766. | n=36 | =5 |
767. | n=50 | =4 |
768. | n=25 | =0,5 |
769. | n=75 | =0,7 |
770. | n=30 | =2,5 |
Задачи 771-775. В итоге измерения длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены результаты в виде таблицы.
Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и направленную дисперсии ошибок прибора.
771. | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
772. | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
773. | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
774. | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
775. | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
Задачи 776-780. Результаты измерения роста отобранных 100 человек приведены в таблицах. Принимая середины интервалов в качестве вариант, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных.
776.
рост | 154-158 | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 | 178-182 |
число человек |
777.
рост | 150-154 | 154-158 | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 |
число человек |
778.
рост | 152-156 | 156-160 | 160-164 | 164-168 | 168-172 | 172-176 | 176-180 |
число человек |
779.
рост | 156-160 | 160-164 | 164-168 | 168-172 | 172-176 | 176-180 | 180-184 |
число человек |
780.
рост | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 | 178-182 | 182-186 |
число человек |
Задачи 781-785. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью p неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение s , выборочная средняя , и объем выборки n.
781. | р=0,95 | s =7 | =13 | n=27 |
782. | р=0,97 | s=5 | =14 | n=30 |
783. | р=0,99 | s =4 | =10,5 | n=20 |
784. | р=0,96 | s =4 | =16,8 | n=25 |
785. | р=0,98 | s=6 | =30 | n=30 |
Задачи 786-790. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
786. | значение признака хi | -5 | -1 | ||||
частота ni | |||||||
787. | значение признака хi | -4 | -2 | ||||
частота ni | |||||||
788. | значение признака хi | -3 | -1 | ||||
частота ni | |||||||
789. | значение признака хi | -5 | -3 | ||||
частота ni | |||||||
790. | значение признака хi | -2 | -1 | ||||
частота ni |
Задачи 791-795. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Оценить с надежностью g математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности при помощи доверительного интервала.
791. | значение признака хi | -0,6 | -0,4 | -0,2 | 0,0 | 0,2 | 0,4 | 0,9 | 1,0 | 1,2 | 1,6 |
частота ni | |||||||||||
g =0,95 | |||||||||||
792. | значение признака хi | -0,3 | -0,2 | -0,1 | 0,0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,9 | 1,1 | 1,5 |
частота ni | |||||||||||
g=0,99 | |||||||||||
793. | значение признака хi | -0,7 | -0,3 | -0,2 | 0,0 | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,6 | 0,9 | 1,2 |
частота ni | |||||||||||
g =0,99 | |||||||||||
794. | значение признака хi | -1,0 | -0,8 | -0,7 | -0,5 | 0,0 | 0,4 | 0,7 | 0,9 | 1,1 | 1,4 |
частота ni | |||||||||||
g =0,95 | |||||||||||
795. | значение признака хi | -0,8 | -0,7 | -0,3 | 0,0 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,9 | 1,1 | 1.3 |
частота ni | |||||||||||
g =0,99 |
Задачи 796-800. По данным n независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение s. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью g.
796. | n=19 | =33,1 | s=7 | g =0,999 |
797. | n=15 | =15,6 | s=3 | g =0,95 |
798. | n=25 | =23,2 | s=4 | g =0,99 |
799. | n=100 | =12 | s=5 | g =0,95 |
800. | n=50 | =15,6 | s=4 | g =0,99 |
Задачи 801-820. Построить полигон частот и эмпирическую функцию по заданному распределению выборки.
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию данного распределения выборки.
Вычислить ассиметрию и эксцесс заданного распределения. Для расчетов применить метод сумм.
801. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
802. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
803. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
804. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
805. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
806. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
807. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
808. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
809. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
810. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
811. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
812. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
813. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
814. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
815. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
816. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
817. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
818. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
819. | хi | ||||||||||
ni | |||||||||||
820. | хi | ||||||||||
ni |
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Значение функции
х | ||||||||||
0,0 | 0,3989 | |||||||||
0,1 | ||||||||||
0,2 | ||||||||||
0,3 | ||||||||||
0,4 | ||||||||||
0,5 | ||||||||||
0,6 | ||||||||||
0,7 | ||||||||||
0,8 | ||||||||||
0,9 | ||||||||||
1,0 | 0,2420 | |||||||||
1,1 | ||||||||||
1,2 | ||||||||||
1,3 | ||||||||||
1,4 | ||||||||||
1,5 | ||||||||||
1,6 | ||||||||||
1,7 | ||||||||||
1,8 | ||||||||||
1,9 | ||||||||||
2,0 | 0,0540 | |||||||||
2,1 | ||||||||||
2,2 | ||||||||||
2,3 | ||||||||||
2,4 | ||||||||||
2,5 | ||||||||||
2,6 | ||||||||||
2,7 | ||||||||||
2,8 | ||||||||||
2,9 | ||||||||||
3,0 | 0,0044 | |||||||||
3,1 | ||||||||||
3,2 | ||||||||||
3,3 | ||||||||||
3,4 | ||||||||||
3,5 | ||||||||||
3,6 | ||||||||||
3,7 | ||||||||||
3,8 | ||||||||||
3,9 |
Таблица 2
Значение функции
х | Ф (х) | х | Ф (х) | х | Ф (х) | х | Ф (х) |
0,00 | 0,0000 | 0,20 | 0,0793 | 0,40 | 0,1554 | 0,60 | 0,2257 |
0,01 | 0,0040 | 0,21 | 0,0832 | 0,41 | 0,1591 | 0,61 | 0,2291 |
0,02 | 0,0080 | 0,22 | 0,0871 | 0,42 | 0,1628 | 0,62 | 0,2324 |
0,03 | 0,0120 | 0,23 | 0,0910 | 0,43 | 0,1664 | 0,63 | 0,2357 |
0,04 | 0,0160 | 0,24 | 0,0948 | 0,44 | 0,1700 | 0,64 | 0,2389 |
0,05 | 0,0199 | 0,25 | 0,0987 | 0,45 | 0,1736 | 0,65 | 0,2422 |
0,06 | 0,0239 | 0,26 | 0,1026 | 0,46 | 0,1772 | 0,66 | 0,2454 |
0,07 | 0,0279 | 0,27 | 0,1064 | 0,47 | 0,1808 | 0,67 | 0,2486 |
0,08 | 0,0319 | 0,28 | 0,1103 | 0,48 | 0,1844 | 0,68 | 0,2517 |
0,09 | 0,0359 | 0,29 | 0,1141 | 0,49 | 0,1879 | 0,69 | 0,2549 |
0,10 | 0,0398 | 0,30 | 0,1179 | 0,50 | 0,1915 | 0,70 | 0,2580 |
0,11 | 0,0438 | 0,31 | 0,1217 | 0,51 | 0,1950 | 0,71 | 0,2611 |
0,12 | 0,0478 | 0,32 | 0,1255 | 0,52 | 0,1985 | 0,72 | 0,2642 |
0,13 | 0,0517 | 0,33 | 0,1293 | 0,53 | 0,2019 | 0,73 | 0,2673 |
0,14 | 0,0557 | 0,34 | 0,1331 | 0,54 | 0,2054 | 0,74 | 0,2703 |
0,15 | 0,0596 | 0,35 | 0,1368 | 0,55 | 0,2088 | 0,75 | 0,2734 |
0,16 | 0,0636 | 0,36 | 0,1406 | 0,56 | 0,2123 | 0,76 | 0,2764 |
0,17 | 0,0675 | 0,37 | 0,1443 | 0,57 | 0,2157 | 0,77 | 0,2794 |
0,18 | 0,0714 | 0,38 | 0,1480 | 0,58 | 0,2190 | 0,78 | 0,2823 |
0,19 | 0,0753 | 0,39 | 0,1517 | 0,59 | 0,2224 | 0,79 | 0,2852 |
0,80 | 0,2881 | 1,15 | 0,3749 | 1,50 | 0,4332 | 1,85 | 0,4678 |
0,81 | 0,2910 | 1,16 | 0,3770 | 1,51 | 0,4345 | 1,86 | 0,4686 |
0,82 | 0,2939 | 1,17 | 0,3790 | 1,52 | 0,4357 | 1,87 | 0,4693 |
0,83 | 0,2967 | 1,18 | 0,3810 | 1,53 | 0,4370 |