Выпуклость функции. Точки перегиба.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом промежутке.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru меняет свой знак, то Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти ОДЗ функции Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

2. Найти вторую производную функции Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

3. Найти точки, в которых вторая производная Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru или не существует.

4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

5. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Решение.

1. ОДЗ: Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

2. Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru (см. пример №3).

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

3. Т.е. Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

 
  Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru

+ – +

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru 1 Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru

4. Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru на интервалах Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , следовательно, на этих интервалах функция вогнута.

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru на интервале Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru . Следовательно, функция на нем выпукла.

5. Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru есть точки перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , лежащей на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

1. Вертикальные.

Если при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , то Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru - вертикальная асимптота.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

2. Наклонные.

Прямая Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru является наклонной асимптотой графика функции Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , если существуют конечные пределы:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

3. Горизонтальные.

Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Пример.

Найти асимптоты кривой Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Решение.

Функция определена в интервалах Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , а Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru -точки разрыва. Так как Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , то прямая Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru является вертикальной асимптотой кривой; Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , т.е. прямая Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru не является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.

Находим:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru ;

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Таким образом, существует правая наклонная асимптота Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Аналогично находятся:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru ;

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Итак, существует наклонная асимптота Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции и точки разрыва.

2. Исследовать функцию на четность ( Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru ) – нечетность ( Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru ), периодичность ( Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru ).

3. Найти точки пересечения графика функции с осью Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и если это несложно – с осью Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

4. Найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

7. На основе проверенного анализа построить график функции.

Пример.

Исследовать функцию Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и построить ее график.

Решение.

1. Область определения Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , т.е. Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru . Точка Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru – точка разрыва.

2. Четность, нечетность, периодичность:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Значит, функция не является ни четной, ни нечетной; и не является периодичной, т.к. нет такого Т, чтобы выполнилось равенство Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

3. График функции проходит через начало координат.

4. Так как Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru – точка разрыва, найдем предел функции при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru :

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru

Таким образом, прямая Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru является вертикальной асимптотой.

Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Т.о., прямая Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru - наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Производная обращается в ноль, если Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , т.е. при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru ; производная не существует при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Однако критическими точками являются только точки Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru (так как значение Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru не входит в область определения функции).

Поскольку при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , а при Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , то Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru - точка максимума и Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru - максимум функции ( Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru - точка разрыва, т. е. в ней функция не может иметь экстремума).

На интервале Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru функция убывает, на интервалах Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru - возрастает.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru

Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

Вторая производная обращается в ноль при х=0 и не существует при х=-1. Очевидно, что Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru на интервале Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и функция вогнута на этом интервале Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru на интервалах Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru , Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru и на этих интервалах функция выпукла. Точкой перегиба является Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru .

7. По данным исследований строим график:

                                                 
                          Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru                    
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                -3 -1 0 2     Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru      
                                                 
                          Выпуклость функции. Точки перегиба. - student2.ru                    
                                             
                                                 
                                                 


Наши рекомендации