Понятие предела функции, свойства
Пусть функция 
задана на интервале 
.
| Определение: | Число  называется пределом функции в точке  , если для любого  существует  такое, что при всех  , удовлетворяющих условию   выполнено:  . |
| Определение: | Число называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке , если для любого числа  существует  такое, что для любого   выполнено: . |
Обозначение:
§ 
(для левостороннего предела);
§ 
(для правостороннего предела).
Практическое вычисление пределов основано на следующих теоремах:
1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правосторонний и левосторонний пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
2. Арифметические действия над пределами:
Если 
и 
, то справедливы утверждения:
§ 
;
§ 
;
§ 
, при условии, что 
.
1. Первый замечательный предел:
. (1.1)
2. Второй замечательный предел:
или 
. (1.2)
Раскрытие некоторых видов неопределенностей
Начинать нахождение предела надо с подстановки в функцию предельного значения аргумента. При этом можем получить неопределенности вида:
.
1. Неопределенность вида 
(в числителе и знаменателе – многочлены).
Примеры такого вида решаются путем почленного деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной, при этом:
а) если старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Пример № 1.
,
(т.к. при 
)
б) если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен бесконечности:
Пример № 2.
,
(т.к. в пределе получили отношение конечного к бесконечно малому).
в) если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен нулю:
Пример № 3.
.
2. Неопределенность вида 
.
а) В числителе и знаменателе – многочлены. Надо разложить числитель и знаменатель на множители, с целью выделения критического множителя, т.е. множителя, который порождает неопределенность.
Пример № 4.
.
б) Выражение содержит иррациональность в числителе или знаменателе дроби (или и в числителе и в знаменателе).
Примеры такого вида решаются путем домножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю (знаменателю или и числителю и знаменателю одновременно).
Пример № 5.
;
Пример № 6.
.
Пример № 7.
Вычислить: 
.
Решение.
Вычислим, используя первый замечательный предел 
. Пусть 
, тогда 
. Если 
, то 
. Используя эту замену, имеем:
.
Пример № 8.
Вычислить: 
.
Решение.
Используя тригонометрическое преобразование, имеем:
.
Пример № 9.
Вычислить: 
(неопределенность 
).
Решение.
Используя тригонометрические преобразования, имеем:
.
3. Неопределенность вида 
. Раскрывается с помощью второго замечательного предела.
.
Пример № 10.
Вычислить: 
(неопределенность ).
Решение.
Для решения используем второй замечательный предел 
. Имеем:
.
Сделаем замену 
. Т. к. 
, то и 
. Тогда:
.
Отсюда:
.
Пример № 11.
Вычислить: 
(неопределенность ).
Решение.
