Дифференциал функции и его применение
Полным приращениемфункции 
в точке 
соответствующим приращениям аргументов 
называется разность
Функция 
называется дифференцируемой в точке 
если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
где 
– числа, не зависящие от 
.
Дифференциалом 
1–ого порядкафункции в точке 
называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно , т.е.
.
Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:
.
Для дифференциала функции 
справедлива формула
.
Функции нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:
;
;
;
Дифференциалы высших порядков функции двух переменных 
имеют вид:
;
.
Аналогично, 
, 
.
Пример.
Найти полное приращение и дифференциал функции 
в точке 
Решение.
.
Основное свойство первого дифференциала
При достаточно малых приращениях аргумента для дифференцируемой функции имеет место приближеннее равенство
.
Или
Пример.
Вычислить приближенно 
.
Решение.
Рассмотрим функцию: 
.
;
;
;
; 
;
Тогда 
.
Задачи.
11.27. Найти полное приращение и дифференциал функции 
если x изменяется от 2 до 2,1, а y от 1 до 1,2.
Найти дифференциалы функций:
11.28. 
; 11.29. 
;
11.30. 
; 11.31. 
Вычислить приближенно:
11.32. 
;
11.33. 
;
11.34. 
;
11.35. 
;
11.36. 
;
11.37. 
.
Формула Тейлора для функции двух переменных
Если функция 
дифференцируема ( 
) раз в некоторой окрестности точки 
, то для любой точки 
из этой окрестности справедлива формула Тейлора:
, где 
.
Или
.
В частном случае, при 
, получим формулу Маклорена:
.
Пример.
Функцию 
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки 
Решение.
Имеем, 
Вычислим последовательно частные производные данной функции и их значения в точке 
:
;
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
Все последующие производные тождественно равны 0.
В результате, получим
.
Задачи.
11.38. Функцию 
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки 
11.39. Функцию 
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки 
11.40. Разложить по формуле Маклорена до членов 4–го порядка включительно функцию 
11.41.Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1,1) до членов 3–го порядка включительно функцию 
.
11.42.Разложить по формуле Маклорена до членов 2–го порядка включительно функцию 
.
Экстремум функции двух переменных
Функция 
имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки 
для всех точек P которой, отличных от точки выполняется неравенство 
(соответственно 
).
Максимум и минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимое условие экстремума
Если дифференцируемая функция 
достигает экстремума в точке то в этой точке
и 
.
Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются стационарными точками функции .