Задача о равномерном движении точки по окружности

Пусть точка Z движется по некой окружности

|z|=R в положительном направлении с постоянной скоростью (по абсолютной величине) линейной скоростью u. Какое ускорение имеет эта точка? (рис. 50)

Решение. Пусть точка Z в момент t=0 находиться в точке A. Угловая скорость точки Z равна w.

Тогда u=Rw. Точка Z имеет комплексную координату z=Re^iwt, комплексную скорость ž=Rwie^tiw комплексное ускорение ż=Rw²e^iwt= e^itw= (-e^iwt). Отсюда видно, что |ž|= , а направление ускорения характеризуется ортом (вектором единичной длины), имеющим комплексную координату. А это значит, что точка Z движется с ускорением, которое в каждый момент времени t направлено к центру окружности (см. приложение).

Широкое применение на­шли комплексные числа в картографии, электротехнике, гидродинамике, теории фильт­рации почв, теоретической фи­зике. Уже в нашем столе­тии комплексные числа и комплексные функции (функции, у которых и значениями аргумента, и значениями функ­ции являются комплексные числа) успешно применялись русскими и советскими матема­тиками и механиками Н. Е. Жуковским (1847 — 1921), С. А. Чаплыгиным (1869— 1942), М. В. Келдышем (1911 — 1978) и другими в аэродина­мике. Советские математики Г. В. Колосов (1867—1936) и Н. И. Мусхелишвили (1891 — 1976) впервые стали приме­нять комплексные функции в теории упругости (то есть по существу к расчетам различ­ных конструкций на проч­ность). С применением комп­лексных переменных в теоре­тической физике связаны ис­следования советских ученых Н. Н. Боголюбова (род. 1909) и В. С. Владимирова (род. 1923).

В конце прошлого столе­тия стали широко применять генераторы переменного тока. Для расчета цепей переменно­го тока оказались непригодны­ми старые методы, разрабо­танные для цепей постоянного тока и основанные на законе Ома. В 1893 г. американский электротехник Ч. П. Штейнмец предложил эффективный метод расчета цепей перемен­ного тока. Этот метод целиком основан на применении комп­лексных чисел.

В 20-х годах нашего столетия стала разрабатываться квантовая механика. Для нее оказался особенно полезным аппарат комплексных чисел. Вот что пишет об этом изве­стный современный физик Е. Вагнер в своем очерке «Не­постижимая эффективность математики в естественных науках»: «Для неподготовлен­ного ума понятие комплексно­го числа далеко не естествен­но, не просто и никак не сле­дует из физических наблюде­ний. Тем не менее, использова­ние комплексных чисел стано­вится почти неизбежным при формулировке законов кван­товой механики. Кроме того, не только комплексным чис­лам, но и так называемым ана­литическим функциям сужде­но сыграть решающую роль в формулировке квантовой те­ории».

Для навигаторов представ­ляет значительный интерес способ построения географи­ческой карты, при котором со­храняются углы между ли­ниями. Такой способ называется конформной (то есть сохраняющей форму) проекцией. Оказывается, что с помощью функций комплексного пере­менного возможно указать бес­конечно много конформных проекций.

Значительное применение нашли комплексные числа при изучении движения есте­ственных и искусственных не­бесных тел. Приведем пример. Одна из важных задач, воз­никшая при подготовке запус­ков первых искусственных спутников Земли, состояла в следующем: как будет дви­гаться спутник под влиянием тяготения к «сплюснутому сфе­роиду» (такую форму имеет земной шар, который несколь­ко сплюснут у полюсов, его полярный диаметр примерно на 42 километра меньше эква­ториального диаметра). Одним из самых эффективных спосо­бов решения этой задачи ока­зался способ, основанный на применении комплексных чи­сел. Он был предложен совет­скими учеными Е. П. Аксе­новым, Е. А. Гребенщиковым и В. Г. Деминым.

Заключение

Комплексные числа, несмотря на всю их «лживость» и недействительность, находят себе широкое применение в математике, физике, химии, информатике и других областях науки. В настоящие время они широко используются в электромеханике, современном автомобиле- и судостроении, компьютерной и космической индустрии.

Результатом написания работы является овладение теорией комплексного числа, умение выполнять действия над комплексными числами и применять в решении задач.

Практическое приложение решаемых задач может найти применение для углубления знаний старшеклассников на факультативных занятиях, помимо этого данная работа может служить учебным пособием для вузов.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Балк, М.В. Реальные применения мнимых чисел / М.В. Балк, Г.Д. Балк, А.А. Полухин.- Киев: Радянськая школа, 1988.

2. Морозова, В.Д. Теория функций комплексного переменного / В.Д. Морозова.- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

3. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов.- М.: Гос. из-во техн.-теор. лит., 1954.

4. Туманов, С.И.Элементарная алгебра. Пособие для самообразования / С.И. Туманов.- М.: Просвещение, 1970.

5. Цыркин, М.Я. Краткий курс теории функций комплексного переменного / М.Я. Цыркин.- М.: Просвещение, 1964.

Приложение 1

Древнегреческие математики считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как (10^8·10)¹⁶ . Наряду с натуральными числами применяли дроби числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что

«... элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа х, чтобы х²=-9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида х ³+px+q=0 кубические и квадратные корни:

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (x³⁺3x-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х³-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени, Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины а, b, с, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида х=5± , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что = -а .

Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже '"софистически отрицательными", считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 год вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века- Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошёл во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа'' так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (cosj+isinj)ⁿ =cos(jn)+isin(nj). С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: e^ix=cosx+isinx , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что е^ip= -1. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

"Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраической формы иероглифы нелепых количеств" Л. Карно.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании "гиперкомплексных" чисел - чисел с несколькими "мнимыми" единицами. Такую систему вида a+bi+cj+dk, где i²=j²=k²= -l, построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами". Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, ij= k, a ji= -k.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2