Алгоритм решения задачи численного интегрирования по формуле прямоугольников.
Задача. Вычислить интеграл I= , по формуле трапеций, разделив отрезок [0,1] на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений.
Решение проведем, используя формулы (18), (19) и принимая h=0,1:
Результат:
I=0,183±0,01.
Метод нерационален, т.к. обладает наименьшей точностью среди приведенных в данном пункте.
Алгоритм решения задачи численного интегрирования по формуле трапеций.
Задача. Вычислить интеграл I= , по формуле трапеций, разделив отрезок [0,1] на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений.
Решение. Воспользуемся формулами (14), (15) и примем h=0,1:
Результат:
І = 0,225±0,003..
Алгоритм решения задачи численного интегрирования по формуле Симпсона (парабол).
Задача. Вычислить интеграл I= , по формуле Симпсона, разделив отрезок [0,1] на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений.
Решение осуществим с помощью формул (16) и (17). Примем h=0,1:
Результат:
І =0,223±7,7·10-6.
Метод Монте-Карло. Алгоритм решения в TMTPascal.
Задача. Вычислить определенный интеграл методом Монте-Карло
Решение:
program mk;
uses crt;
var x,s,integral,a,b,d: real;
i,n: integer;
function fun(x:real):real;
begin
fun:=1/sqrt(3*x*x-1);
end;
begin
randomize;
writeln('vvedite predely integrirovaniay');
read(a,b);
writeln('vvedite chislo sluchainyx ispytanii');
read(n);
s:=0;
d:=b-a;
for i:=1 to n do
begin
x:=a+d*((b-a)*random+a);
s:=s+fun(x);
end;
integral:=s*d/n;
writeln('i=',integral:17:11);
end.
Результат:
Задача.Методом Монте-Карло вычислить значение определенного интеграла
Решение
program MONTE_KARLO;
{y=sin x,a=0,b=1}
uses crt;
const n=10000;
var a,b,s,y,x:real;
i:integer;
BEGIN
clrscr;a:=0;b:=1;s:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=a+random*(b-a);
y:=sin(x);
s:=s+y;
end;
s:=(b-a)*s/n;
writeln('s=',s:10:5);
readln;
END.
Практическая часть
Задание 1.Вычислить интеграл , используя квадратурные формулы:
а) прямоугольников (левых, правых)с шагом ; дать априорную оценку погрешности;
б) трапеций с шагами и ; оценить погрешность результата по формуле Рунге и уточнить результат по Рунге;
в) Симпсона с шагом .
Промежуточные результаты вычислять с шестью значащими цифрами. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах.
Образец решения:
а)
x | y | y' | |
0,582572 | 0,490218 | ||
1,4 | 0,843693 | 0,831417 | |
1,8 | 1,255083 | 1,22226 | |
2,2 | 1,801286 | 1,456334 | |
2,6 | 2,35582 | 1,214428 |
а)метод прямоугольника
Метод прямоугольника | |
Прав | Лев |
2,502352897 | 1,793054 |
2,147703371 |
Iправ=0,4*(∑ (y1: y4))= 2,50235
Iлев =0,4*(∑ (y0: y5))= 1,79305
Iобщ =(Iправ+ Iлев)/2= 2,147703371
Оценим погрешность
|Rn|≤M1*
|Rn|≤1,456334*0,256=0,372822
б)
метод трапеций:
h=0.4
x | y |
0,540302 | |
1,4 | 0,755561 |
1,8 | 0,849608 |
2,2 | 0,898461 |
2,6 | 0,926943 |
Iтр1=0,4*((y0+ y5)/2+∑( y1: y4))= 1,29490
.
h=0.2
x | y |
0,540302 | |
1,2 | 0,672412 |
1,4 | 0,755561 |
1,6 | 0,810963 |
1,8 | 0,849608 |
0,877583 | |
2,2 | 0,898461 |
2,4 | 0,914443 |
2,6 | 0,926943 |
Iтр2=0,2*((y0+ y8)/2+∑( y1: y7))= 1,30253
оценим погрешность результата по формуле Рунге
уточним результат по формуле Рунге
1,30253+0,00254333=1,30507333
в)
Iсимп =0,4/3*( y0+ y4+4*( y1+ y3)+2*( y2))= 6,14381.
№ | |||
Задание 2. Вычислить работу переменной силы F=F(x) по перемещению материальной точки М на линейном участке.
1<=x<=1,54, e=0.001
№ варианта | Вид функции |
F(x) | |
Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у=f(x), на отрезке [0,1]
Вариант | f(x) |
Вопросы к защите лабораторной работы №5
«Численное интегрирование»
1. Простейшие квадратурные формулы (формулы правых, левых, центральных прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона), геометрическая иллюстрация, оценки погрешности. Точность квадратурных формул.
2. Квадратурные формулы интерполяционного типа: вывод формул, оценки погрешности.
3. Квадратурные формулы Гаусса: вывод формул, точность формул.
4. Метод Монте-Карло.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6