Численное интегрирование. Обусловленность задачи численного интегрирования
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при n→∞ и ∆x→0:
где, n - количество элементарных отрезков [xi-xi-1], i=1,...,n; на которые разбивается отрезок интегрирования [a,b], ∆xi=(xi-xi-1) - длина i-ого отрезка, еi - точка на отрезке [xi-1,xi].
Когда функция f(x) задана аналитически в виде формулы и интеграл удается свести к табличному, то интеграл (2.1) вычисляется с помощью таблиц неопределенных интегралов и формулы Ньютона-Лейбница, например:
(2.2)
где F’(x) - первообразная, т.е. F’(x)=f(x).
Однако на практике обычно интеграл (2.2) не сводится известными приемами к табличному интегралу, даже тогда, когда под интегральная функция задана аналитически, не говоря уже о тех случаях, когда значения под интегральной f(x) заданы в виде таблицы. В этом случае используют численные методы
Относительное число обусловленности задачи численного интегрирования
Проблема "оврагов" в задачах поиска минимума (?)
Выше нами были рассмотрены 3 варианта методов спуска, такие, как метод покоординатного спуска, метод градиентного спуска и метод наискорейшего спуска, и при этом наглядно показали, как хорошо они работают. В результате у вас могло сложиться впечатление, что проблема решена. На самом деле это не так. Все было хорошо потому, что был выбран "удобный" пример. Но посмотрите на рис. 11.4. На нем также показаны линии уровня некоторой функции. Линии уровня сильно вытянуты в одном направлении и сплющены в другом. Они напоминают рельеф местности с оврагом. Этот случай крайне неудобен для описанных выше методов.
Действительно, попытаемся найти наименьшее значение такой функции с помощью градиентного спуска. Двигаясь все время в направлении антиградиента, мы быстро спустимся на дно "оврага" и, поскольку движение идет хотя и маленькими, но конечными шагами, проскочим его. Оказавшись на противоположной стороне "оврага" и вычислив там градиент функции, мы будем вынуждены развернуться почти на 180° и сделать один или несколько шагов в обратном направлении. При этом мы снова проскочим дно "оврага" и вернемся на его первоначальную сторону. Продолжая этот процесс, мы вместо того, чтобы двигаться по дну "оврага" в сторону его понижения, будем совершать зигзагообразные скачки поперек "оврага", почти не приближаясь к цели. Таким образом, в случае "оврага" (этот нематематический термин прочно закрепился в литературе) описанные выше методы спуска оказываются неэффективными.
Для борьбы с "оврагами" был предложен ряд специальных приемов. Один из них заключается в следующем. Из двух близких точек совершают градиентный спуск на дно "оврага". Потом соединяют найденные точки прямой и делают вдоль нее большой (овражный) шаг. Из найденной точки снова спускаются на дно "оврага" и делают второй овражный шаг. В результате, двигаясь достаточно быстро вдоль "оврага", приближаемся к искомому наименьшему значению целевой функции (см. рис. 11.4). Такой метод достаточно эффективен для функций двух переменных, однако при большем числе переменных могут возникнуть трудности.
Рис. 11.4.Поиск наименьшего значения функции в случае "оврага"
Все описанные выше методы приспособлены к случаю, когда наименьшее значение функции достигается внутри рассматриваемой области, и становятся малоэффективными, если наименьшее значение достигается на границе или вблизи нее. Для решения таких задач приходится разрабатывать специальные методы. Мы не будем на них останавливаться. Вам должно быть и без того ясно, что большое число специальных методов - это признак слабости, а не силы. Ведь приступая к решению практической задачи, мы, как правило, не знаем всех ее особенностей и не можем сразу выбрать наиболее эффективный метод.
Экзаменационный билет № 4