Глава 6. уравнения равновесия
Независимые уравнения равновесия для различных систем сил
Если твердое тело под действием некоторой системы сил находится в равновесии, то для этой системы сил главный вектор и главный момент, вычисленный относительно произвольной точки О, равны нулю. Тогда из (69), (70) получим уравнения равновесия системы сил в векторной форме:
(71)
(72)
Если векторные равенства (71), (72) записать в проекциях на выбранные оси координат, то из двух векторных уравнений получим 6 алгебраических уравнений равновесия:
(73)
В формулах (73) суммирование производится для всех сил системы, но для краткости записи у знака суммы не указаны границы изменения индекса суммирования k. Будем использовать такое упрощение записи и в дальнейшем.
Отметим, что записанные выше уравнения равновесия (73) являются независимыми только для систем сил наиболее общего вида – пространственных произвольных. Для более простых систем сил независимых уравнений равновесия будет меньше шести. Ниже в таблице приведены независимые уравнения равновесия для систем сил различного вида. Эти независимые уравнения помечены в таблице знаком (+). Отметим, что для плоских систем сил, расположенных в плоскости Oxy, вычисление моментов сил относительно оси z эквивалентно вычислению алгебраических моментов сил относительно точки, выбранной в плоскости Oxy.
| Уравнения равновесия Вид системы сил |  |  |  |  |  |  | Кол-во незави-симых ур-ий | |
| Простран-ственная | Произвольная | + | + | + | + | + | + | |
Параллельная (   ) | – | – | + | + | + | – | ||
| Сходящаяся | + | + | + | – | – | – | ||
| Плоская (в пл-ти OXY) | Произвольная | + | + | – | – | – | + | |
Параллельная (  ) | – | + | – | – | – | + | ||
| Сходящаяся | + | + | – | – | – | – |
Таблица 1. Независимые уравнения равновесия для различных систем сил
Докажем одну важную теорему статики.
Теорема Вариньона
Если система сил имеет равнодействующую, то векторный момент равнодействующей силы относительно какого-либо центра равен геометрической сумме векторных моментов всех сил системы, вычисленных относительно того же центра.
Доказательство
Пусть на твердое тело действует система сил 
, имеющая равнодействующую 
(см. рис. 78) 
Рис. 78
Добавим к заданной системе сил уравновешивающую силу 
, равную по величине, противоположно направленную и имеющую общую линию действия по отношению к равнодействующей силе . Тогда полученная система сил будет эквивалентна нулю
и должна удовлетворять уравнениям равновесия. В частности, сумма векторных моментов сил этой системы относительно любой точки О равна нулю:
но
Тогда из предыдущей формулы получим
откуда следует утверждение теоремы:
Отметим, что аналогичное утверждение справедливо для алгебраических моментов и моментов сил относительно осей.