Построение нормальной кривой по опытным данным
Один из способов построения нормальной кривой по данным наблюдений состоит в следующем.
1) Найти и .
2) Найти ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле , где п – сумма наблюдаемых частот (объем выборки), h – разность между двумя соседними вариантами, – выборочное среднее квадратическое отклонение, , –середина -го частичного интервала.
3) строят точки в прямоугольной системе координат и соединяют их плавной кривой.
Замечание.Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределен нормально.
Пример 3.1.Построить кривую по данному распределению:
Выяснить, насколько обоснованной является гипотеза о том, что построенная кривая является нормальной, а данное распределение является выборкой из нормально распределённой генеральной совокупности.
Решение. 1) Вычислим выборочную среднюю, выборочное СКО и выравнивающие частоты. Для этого составим расчётную таблицу.
№ | |||||||||
1. | |||||||||
2. | |||||||||
3. | |||||||||
4. | |||||||||
5. | |||||||||
6. | |||||||||
7. | |||||||||
8. | |||||||||
9. | |||||||||
2) Построим графики эмпирического распределения (по наблюдаемым частотам) и теоретического (по вычисленным выравнивающим частотам).
Сравнение графиков наглядно показывает что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.
3) Проверим правило трёх сигм для данного распределения. Для этого с помощью расчётной таблицы выясним, для скольких наблюдаемых значений выполняется неравенство .
Замечание. В примере 3.1 наблюдаемые значения являются равноотстоящими. Если при решении задачи окажется, что наблюдаемые значения не являются равноотстоящими, то их нужно сделать таковыми, пользуясь замечанием 4 п. 1.1.
Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального.
Асимметрия и эксцесс
Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Определения этих характеристик аналогичны определениям асимметрии и эксцесса теоретического распределения.
Асимметрия эмпирического распределенияопределяется равенством: , где – центральный эмпирический момент третьего порядка.
Эксцесс эмпирического распределенияопределяется равенством: , где – центральный эмпирический момент четвертого порядка.
Пример 3.1 (продолжение).Найдём асимметрию и эксцесс эмпирического распределения примера 3.1.
Решение. Центральные эмпирические моменты вычисляются по формуле:
Составим расчётную таблицу.
№ | |||||||
1. | |||||||
2. | |||||||
3. | |||||||
4. | |||||||
5. | |||||||
6. | |||||||
7. | |||||||
8. | |||||||
9. | |||||||
Асимметрия распределения равна:
Эксцесс распределения равен:
Вывод.
Замечание. В случае малых выборок дополнительно к оценкам асимметрии и эксцесса требуется находить точности этих оценок (см. [14]).
Сравнение исправленной выборочной дисперсии