Вычисление доверительных интервалов

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределён нормально. Будем рассматривать выборочную среднюю Вычисление доверительных интервалов - student2.ru как случайную величину Вычисление доверительных интервалов - student2.ru ( Вычисление доверительных интервалов - student2.ru изменяется от выборки к выборке); а выборочные значения признака Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , …, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , как одинаково распределённые независимые случайные величины Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , …, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

Примем без доказательства, что если случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и СКО Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , то выборочная средняя Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально с математическим ожиданием Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и СКО, равным Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – заданная надежность.

Допустим, что из некоторых соображений известно СКО Вычисление доверительных интервалов - student2.ru исследуемого признака.

Пользуясь формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределённой случайной величины Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , получим Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Отсюда Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

Таким образом, доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с известным СКО Вычисление доверительных интервалов - student2.ru : Вычисление доверительных интервалов - student2.ru ,где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – выборочная средняя, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – известное среднее квадратическое отклонение, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – объем выборки, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – число, которое определяется из равенства Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице функции Лапласа (Приложение 1), Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – заданная надежность.

Замечание 1. Оценку Вычисление доверительных интервалов - student2.ruназываютклассической.Из формулы Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , определяющей точность классической оценки можно сделать выводы:

1) при возрастании объёма выборки точность оценки увеличивается;

2) увеличение надёжности приводит к увеличению параметра Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , а следовательно, к возрастанию числа Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , т.е. к уменьшению точности оценки.

Замечание 2. если требуется оценить математическое ожидание с наперёд заданной точностью Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и надёжностью Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , то минимальный объём выборки, который обеспечит эту точность, можно найти по формуле Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

В случае, когда значение СКО признака Х неизвестно, по данным выборки строят случайную величину Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – выборочная средняя, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – исправленное выборочное СКО, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – объём выборки, которая будет распределена по закону Стьюдента с Вычисление доверительных интервалов - student2.ru степенями свободы. Тогда (см. [7]) можно доказать, что точность оценки Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – число, которое определяется по заданным Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице распределения Стьюдента Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

Таким образом, доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным СКО: Вычисление доверительных интервалов - student2.ru ,где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – выборочная средняя, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – объем выборки, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – число, которое определяется по заданным Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице распределения Стьюдента Вычисление доверительных интервалов - student2.ru (Приложение 2), Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – заданная надежность.

Замечание 1.Так как при неограниченном возрастании объёма выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному, то при Вычисление доверительных интервалов - student2.ru вместо распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным распределением. Для малых выборок замена распределения Стьюдента нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно – к неоправданному сужению доверительного интервала.

Замечание 2. Достоинствами распределения Стьюдента является независимость от неизвестных параметров Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , а зависимость только от объёма выборки Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

Замечание 3. Использование распределения Стьюдента даёт более широкий доверительный интервал для оценки математического ожидания, чем использование нормального распределения. Этот факт объясняется тем, что малая выборка содержит мало информации об исследуемом признаке.

По найденному исправленному выборочному СКО Вычисление доверительных интервалов - student2.ru можно с заданной надежностью Вычисление доверительных интервалов - student2.ru найти доверительный интервал для оценки неизвестного СКО нормально распределённой случайной величины Х. Для этого потребуем, чтобы выполнялось соотношение Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Тогда для оценки Вычисление доверительных интервалов - student2.ru получится неравенство Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Значения параметра Вычисление доверительных интервалов - student2.ru можно найти с помощью распределения случайной величины Вычисление доверительных интервалов - student2.ru (см. [7]) или специальных таблиц (Приложение 3).

Таким образом, доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения: Вычисление доверительных интервалов - student2.ru ,где Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – число, которое определяется по заданным Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице распределения Вычисление доверительных интервалов - student2.ru (Приложение 3), Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – заданная надежность, Вычисление доверительных интервалов - student2.ru – объем выборки.

Пример 2.4. Из генеральной совокупности значений нормально распределенного признака Х извлечена выборка объемом Вычисление доверительных интервалов - student2.ru :

Вычисление доверительных интервалов - student2.ru

1) Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95.

2) Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если известно, что среднее квадратическое отклонение Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

Решение. 1) Для построения интервального вариационного ряда воспользуемся решением примера 1.2:

Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru   Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru Вычисление доверительных интервалов - student2.ru
Вычисление доверительных интервалов - student2.ru
Вычисление доверительных интервалов - student2.ru 0,12 0,12 0,08 0,10 0,24 0,12 0,12 0,08 0,02
Вычисление доверительных интервалов - student2.ru 0,13 0,13 0,09 0,11 0,27 0,13 0,13 0,09 0,02

2) Найдём доверительные интервалы для вычисления оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Выборочная средняя (согласно примеру 2.2) равна:

Вычислим выборочную дисперсию:

Тогда исправленная выборочная дисперсия ,

а исправленное СКО .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным СКО имеет вид: Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Найдём Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по заданным объему выборки Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и надежности Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице распределения Стьюдента Вычисление доверительных интервалов - student2.ru (Приложение 3): Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Тогда доверительный интервал примет вид: или .

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения имеет вид: Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Найдём Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по заданным объему выборки Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и надежности Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице распределения Вычисление доверительных интервалов - student2.ru (Приложение 4): Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Тогда доверительный интервал примет вид:

Или .

3) Найдём доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если известно, что среднее квадратическое отклонение Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с известным СКО имеет вид: Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Найдём Вычисление доверительных интервалов - student2.ru из равенства Вычисление доверительных интервалов - student2.ru по таблице функции Лапласа (Приложение 2) по заданной надежности Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Тогда Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и Вычисление доверительных интервалов - student2.ru . Вычислим концы доверительного интервала: или .

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, вычисленный при известном СКО, уже, чем при неизвестном.

Практическое занятие.
Точечные и интервальные оценки генеральной совокупности

Задания для решения на практическом занятии

1. Выборка задана в виде распределения частот:

хi
ni

Найти распределение относительных частот. Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения.

2. Построить полигон частот и относительных частот по данному распределению выборки:

хi
ni

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии.

3. Задана выборка количественного признака непрерывной случайной величины Х. Найти ряд распределения частот и относительных частот. Построить гистограмму частот.

Выборка: 1; 2; 3; 1; 1.5; 4; 4.8; 2.5; 2; 5.6; 8; 8.2; 6; 6.3; 6.8; 7.; 5.8; 5; 5.2; 3.8; 5.3; 5.5; 4.5; 4.3; 4.6; 5.1; 9; 9.5; 10.

4. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Вычисление доверительных интервалов - student2.ru :

хi
ni

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

5. По выборке объема n=41 найдена смещенная оценка Dв =3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

6. В таблице приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Рост (см) 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182
Число студентов

Указание. Найти середины интервала и принять их в качестве вариант.

7. Заданы генеральная совокупность и выборка некоторой дискретной случайной величины Х. Найти числовые характеристики генеральной совокупности и их точечные оценки. Построить полигон частот (теоретических и эмпирических). Составить теоретическую и эмпирическую функции распределения, построить их графики.

Генеральная совокупность. 1, 1, 2, 5, 5, 3, 5, 8, 5, 1, 4, 6, 2, 3, 7, 4, 7 ,5, 2, 3, 5, 4, 2, 1, 1, 8, 9, 7, 10, 5, 5, 6, 4, 4, 2, 1, 10, 7, 5, 8, 4, 7, 3, 3, 4, 6, 8, 7, 8, 4, 2, 7, 6, 7, 8, 6, 8, 5, 4, 2, 1, 10, 10, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 9, 8, 5, 4, 4, 5, 6 ,8, 5, 2, 1, 1, 3, 5, 4, 5, 8, 7, 3, 3, 5, 6, 6, 5, 4, 4.

Выборка. 1,3,3,5,4,8,9,5,10,5,6,4,7,5,8,6,4,1,2,3.

8. Пусть признак Х – оценка за контрольную работу по математике в вашей группе. Найти закон распределения случайной величины, построить полигон распределения, функцию распределения, найти числовые характеристики случайной величины.

9. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное СКО s = 5, выборочная средняя Вычисление доверительных интервалов - student2.ru , объем выборки n=25.

10. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n = 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их СКО s = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

11. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна d = 0,3, если известно СКО s = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

12. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

xi -2
ni

а) Оценить с надежностью 0,95 при помощи доверительных интервалов математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности; генеральное СКО, если известна дисперсия D=2,5.

б) Оценить с надежностью 0,95 при помощи доверительных интервалов математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней, если дисперсия неизвестна.

Сравнить полученные результаты.

в) Оценить с надежностью 0,95 при помощи доверительных интервалов генеральное СКО по исправленному СКО,

13. По данным объема выборки n=16 из генеральной совокупности найдено исправленное СКО s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное СКО s с надежностью 0,95.

14. По данным девяти равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и исправленное СКО s=5. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,95.

Задания для самостоятельной работы

1. Выборка задана в виде распределения частот:

хi
ni

Найти распределение относительных частот, построить полигон и эмпирическую функцию распределения.

2. Построить полигон частот по данному распределению выборки. Построить полигон относительных частот. Составить и построить эмпирическую функцию распределения.

хi
ni

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:

хi 18,4 18,9 19,3 19,6
ni

Найти выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию.

4. По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка Dв =5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

5. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы s = 40 часов. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12:

xi -0,5 -0,4 -0,2 0,2 0,6 0,8 1,2 1,5
ni

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала. Вычисление доверительных интервалов - student2.ru .

7. По данным объема выборки n=10 из генеральной совокупности найдено исправленное СКО s=5,1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное СКО s с надежностью 0,999.

8. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены выборочная средняя Вычисление доверительных интервалов - student2.ru и исправленное СКО s=0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

9. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна d = 0,2, если известно СКО s = 1,5 нормально распределенной генеральной совокупности.

Наши рекомендации