Градуировка шкалы электронного измерителя деформации

Чтобы узнать цену деления прибора, проводим тарировку или градуировку датчика.

Для этой цели создаем известную деформацию и снимаем показания прибора. Поделив одно на другое, узнаем, скольким единицам деформации соответствует одно деление прибора.

Для градуировки используем тарировочную балку (рис. 4.5 в журнале). Это балка равного сопротивлении, т.е. в такой балке напряжение постоянно по всей длине балки. Докажем сначала, что в рассматриваемой балке имеет место условие σ = const. Изгибающий момент при изгибе консольной балки изменяется по закону М_x = Fz, где F – нагрузка, приложенная к концу балки (в нашем эксперименте это вес гирь), z – расстояние от конца балки до рассматриваемого сечения (рис.4.5). Напряжение при изгибе равно , М_x это изгибающий момент, а - момент сопротивления изгибу сечения балки на расстоянии z от конца, ширина балки в этом сечении равна b(z) = . Подставим выражения для М_x и W_x в формулу для напряжения: Доказали, что напряжение постоянно по длине балки. Докажем теперь, что балка равного сопротивления изгибается по дуге окружности. Это означает, что кривизна такой балки постоянна, т.е. При изгибе балки продольная деформация равна . Датчик приклеен на поверхности балки, значит, он измеряет деформацию слоя, у которого

(y это расстояние от точки, в которой определяется деформация, до нейтрального слоя, т. е. до оси балки). Из закона Гука ( ) следует, что деформация равна . Значит, кривизна тарировочной балки при изгибе равна , т. е. балка изгибается по кривой с постоянной кривизной, а это дуга окружности.

Во время эксперимента на каждом этапе нагружения записываются показания реохорда

(т. е. фиксируется деформация) и снимаются показания индикатора. Индикатор измеряет величину f, это высота сегмента окружности, по которой выгибается балка, рис. 4.12 (и рис. 4.6 в журнале). Осталось выяснить, как, зная f, определить деформацию ε.

На рис. 4.12 в треугольнике АВС сторона АС это диаметр, ВЕ – перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на диаметр. Из геометрии известно, что в таком случае квадрат ВЕ равен произведению АЕ на ЕС или

, но f = D, тогда можно принять (D - f) D и

и кривизна балки .

Деформация при будет .

Получили выражение для деформации, исходя только из геометрических соображений, не используя закон Гука, так как модуль Юнга нам еще предстоит определить.

Лабораторная работа № 5

ПРЯМОЙ ИЗГИБ

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изображенная на рисунке балка, прямолинейная до изгиба, после изгиба приобретает криволинейную форму. На этом рисунке v - прогиб балки по оси y, - угол поворота оси балки (+ против часовой стрелки), - радиус кривизны изогнутой оси балки.

Поскольку мы рассматриваем только такие балки, у которых прогиб v очень мал, то и угол поворота тоже очень мал. Тогда . Но тангенс угла наклона кривой это первая производная от функции, описывающей эту кривую, в нашем случае от функции прогиба v. Значит, = . Таким образом, угол поворота оси балки это первая производная от функции прогиба v.

Из математики известно, что кривизна кривой . В нашем случае при очень малых перемещениях и углах поворота <<1, поэтому можно считать , откуда получается , т.е. кривизна изогнутой оси балки это вторая производная от функции прогиба.

На лекциях в разделе «Изгиб» была получена зависимость между изгибающим моментом и кривизной оси балки . Из двух выражений для кривизны получается .

Для определения перемещения с помощью дифференциального уравнения упругой линии (т.е. изогнутой оси балки) надо изобразить балку без опор, заменив их найденными реакциями

Провели оси z, y, поместив начало координат слева там, где была опора. Разрезаем балку в пределах последнего участка (z берем от начала координат). В сечении прикладываем положительные силовые факторы: изгибающий момент дает сжатые слои сверху, поперечная сила направлена вниз.

Запишем выражение изгибающего момента для этого сечения, используя полученное выше выражение момента через кривизну

.

Это уравнение кривизны оси балки, интегрируем его, не раскрывая скобок .

Получили уравнение углов поворота оси балки. Константа первого интегрирования С это угол поворота оси балки в начале координат, умноженный на жесткость.

Интегрируем выражение еще раз

.

Получили выражение для прогибов балки v. Это уравнение является универсальным. Будучи функцией прогибов для последнего участка балки, это выражение включает в себя функции прогибов всех предыдущих участков. Чтобы найти прогиб на любом из предыдущих участков, надо из универсального уравнения взять только члены, относящиеся к этому участку – это силовые факторы, лежащие левее сечения, в котором определяем перемещение (смотри на сайте раздел «Определение перемещений с помощью дифференциального уравнения»).

Константа D это прогиб в начале координат, умноженный на жесткость. В нашем случае в начале координат была опора, прогиб на которой равен нулю. Отсюда константа D=0.

Для определения константы С используем граничное условие на правой опоре: Подставив это условие в функцию прогибов, получим (при D=0)

.

Знак минус у константы С означает, что угол поворота оси балки в начале координат отрицательный, т.е. по часовой стрелке. Это соответствует форме изогнутой оси балки.

Сечение «А», в котором нам предстоит определить прогиб, находится на расстоянии от начала координат. Это первый участок, значит, из универсального уравнения возьмем только члены, лежащие левее этой точки, подставив найденное значение константы С и

, откуда прогиб в сечении «А» равен

Дальнейший расчет проводим в ньютонах и метрах. Подсчитаем осевой момент инерции сечения. Тонкостенный профиль следует разбить на полоски – вертикальную и две горизонтальные. Используя теорему Штейнера об изменении моментов инерции при параллельном переносе осей, получим

, в метрах это будет .

Нагрузка F=1000н, длина балки l=0,9м, отсюда

Знак минус означает, что перемещение будет в сторону отрицательной оси y, т.е. вниз.

Лабораторная работа №6

КОСОЙ ИЗГИБ

Если плоскость изгибающего момента не проходит через главную ось сечения, то такой вид нагружения называется косым изгибом. Главными называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю ( ), а осевые моменты инерции имеют экстремальное значение, то есть один из них это J_max, а другой J_min. Заметим, что ось симметрии всегда является главной осью, а вторая главная ось ей перпендикулярна и в наших задачах проходит через центр тяжести сечения.

При косом изгибе балка гнется не в плоскости действия изгибающего момента

(т.е. не в той плоскости, в которой ее гнут), а в некоторой другой, более близкой к плоскости минимальной жесткости.

Нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения, но она не перпендикулярна моментной линии. Нейтральная линия отклоняется от перпендикулярного положения к оси минимум. Моментная линия это след моментной плоскости на поперечном сечении.

Определение напряжения

.Для определения напряжений при косом изгибе раскладываем изгибающий момент по главным осям. Следует помнить, что момент носит индекс той оси, вокругкоторой он действует. Проведя нейтральную линию, находим опасную точку как наиболее удаленную от нейтральной линии. Максимальное напряжение в этой точке (назовем ее точкой А) определяем как сумму напряжений от каждого момента отдельно по формуле

, где x_A и y_A – координаты опасной точки A относительно главных осей x, y.

В нашей задаче разложим силу по главным осям x, y, получим составляющие (рис.1).

Построив эпюры, определим изгибающие моменты в заданном сечении на расстоянии l₁ от свободного конца балки

В прямоугольном сечении опасная будет точка в углу (при любом положении нейтральной линии). Напряжение в этой угловой точке

Определение перемещения

Перемещение вычисляем как геометрическую сумму перемещений по главным осям (рис.2).

Перемещение вдоль главной оси определим, перемножив по правилу Верещагина эпюры от нагрузки и от единичного фактора (смотри рис.)

, тогда

.