Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого e > 0 найдется номер N такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n>=N, и для любого натурального числа p (p=1,2,3…) справедливо неравенство:

|x_n+p – x_n| < e.

Теорема. (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность {x_n} была сходящийся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть x_n à a. Фиксируем произвольное e > 0. Так как последовательность {x_n} сходится к пределу а, то для числа равного e/2 найдется номер N такой, что при всех n >= N:

|x_n – a| <e/2. (1)

Если p любое натуральное число, то при всех n>=N и подавно будет:

|x_n+p – a| < e/2. (2)

Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, то из неравенств (1) и (2) мы получим при всех n >= N и для любого натурального числа p мы получим:

|x_n+p – x_n| = | [x_n+p – a] + [a - x_n]| <= |x_n+p – a| + |x_n – a| <e, Þ |x_n+p – x_n| <e - это и означает, что это фундаментальная последовательность.

2) Достаточность. Пусть теперь {x_n} – фундаментальная последовательность. Например для e =1 существует n₁, такой что n > n₁ и m > n₁ имеет |x_n - x_m| < 1.

Фиксируя m_o > n₁ имеем |x_n - x_mo| < 1 и Þ |x_n| < 1+ |x_mo|

Þ |x_n| <= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|x_mo|} для всех nÎN, т.е. {x_n} – ограничена.

Значит, по теореме Больцано - Вейерштрасса существует сходящаяся последовательность {x_nk}, x_nk –> a. Покажем что {x_n} сходится к a.

Для данного e > 0:

"e > 0 $K(e)ÎN : "k>K(e) Þ

|x_nk – a| < e;

Кроме того, в силу фундаментальности {x_n}, $n_e = n(e): n_k,n > n_e

Þ |x_n – x_nk| < e/2

Положим n_e = max{n_e, n_k(e)} и фиксируем n_ko > n_e. тогда при n > n_e имеем:

|x_n – a| <= |x_n – x_nko| + |x_nko – a| < e. А это и означает, что limx_n=a #

15. Два определения предела функции в точке и их эквивалентность.

Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого e > 0 можно указать такое d > 0, что для всех xÎX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a| < d, выполняется |f(x) – A| < e.

Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой последовательности {x_n}Ì X, x_n¹a "nÎN, сходящийся к a, последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу A.

Теорема. Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.

Доказательство. Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши

и {x_n}Ì X, x_n¹a "nÎN – последовательность, сходящаяся к a, x_n à a.

По данному e > 0 найдем d > 0 такое, что при 0 < |x-a| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,

а по этому d найдем номер n_d=n(d) такой, что при n>n_d имеем 0 < |x_n-a| < d.

Но тогда |f(x_n) – A| < e, т.е. доказано, что f(x_n)à A.

Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется e_o > 0 такое, что для всех nÎN существуют x_nÎX,

0 < |x_n-a| < 1/n, для которых |f(x_n)-A| >= e_o. Это означает, что найдена последовательность {x_n}Ì X, x_n¹a "nÎN, x_n à a такая, что

последовательность {f(x_n)} не сходится к A. #

Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющий конечный предел. Локальное сохранение знака функции, имеющий нулевой предел.

Теорема 1. Если $ limf(x) = b Î Rпри x à a, то этот предел единственный.

Доказательство: Пусть это не так.

limf(x) = b₁и limf(x) = b₂ при x à a. b₁¹b₂

"{x_n}Î D(f), x_n à a, x_n ¹ a Þ f(x_n) à b₁ (определение по Гейне)

"{x_n}Î D(f), x_n à a, x_n ¹ a Þ f(x_n) à b₂ (определение по Гейне)

Для конкретной последовательности {x_n}Ì D(f). x_n’ à a, x_n ¹ a Þ

Þ f(x_n’) à b₁ и f(x_n’)à b_2. Тогда по теореме о единственности предела последовательности b₁=b₂. #

Опр. Функция f(x) называется локально ограниченной при x à a, если существует числа d > 0 и М > 0 такие, что при 0 < |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.

Теорема 1(о локальной ограниченности). Если функция f(x) имеет предел в точке a, то она локально ограничена при x à a.

Доказательство: Если существует lim f(x) = A при x à a, то, например, для e=1 существует d>0 такое, что при 0 < |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,

|f(x)|<|A|+1=M. #

Теорема 2(о локальном сохранении знака). Если lim f(x) = A при x à a и A¹0, то существует такое d>0, что при

0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 имеем f(x)>A/2, а при 0 < |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем

f(x) < a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L( xÎX ) Þ |f(x)| > |A|/2.

Доказательство: Возьмем e=|A|/2. Найдется d>0 такое, что при

0 < |x-a| < d, xÎX имеем

A-|A|/2<f(x)<A+|A|/2.

При A>0 из левого неравенства получаем f(x) > A/2, а при A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. #