Расчет линейной и нелинейной системы регулирования методом пространства состояний.

Аналитическое определение переходных процессов фазовых координат дискретных систем регулирования.

Аналитическое определение параметров цифрового регулятора, обеспечивающего оптимальный переходной процесс в линейных и нелинейных системах регулирования.

Исследование цифровых систем регулирования.

Теоретическое обоснование

Фундаментальная матрица определяется аналитическим путем через матрицу состояния А

. (16.1)

В свою очередь матрица состояния А определяется через передаточную функцию или схему моделирования. Для варианта на рис. 16.1 представлена схема моделирования с учетом переменного коэффициента k.

Рис. 16.1. Схема в переменных состояния, иллюстрирующие пример варианта 1

Из схемы моделирования определяем расширенный вектор состояния

и систему дифференциальных уравнений

из которых записывается матрица состояния А

.

Введя единичную матрицу Is, определяем матрицу [Is – A]

.

Рассмотрим нелинейную систему управления, схема которой приведена на рис. 16.2.

N – нелинейный элемент, D(z) – цифровой регулятор,

W(s) – передаточная функция линейной части)

Рис. 16.2. Структурная схема цифровой системы

Характеристики нелинейной системы зависят от типа нелинейности и места ее включения. В данной работе рассмотрена нелинейность типа «насыщение». Для решения этой задачи применяют метод переменного коэффициента усиления. Цифровой регулятор и нелинейный элемент рассматривают как усилительный элемент, обладающий переменным коэффициентом усиления k_П, зависящим от критерия, параметров нелинейности и порядкового номера интервала дискретности

,

где k_П – коэффициент усиления участка D – N.

При расчете нелинейных систем, так же как и при расчете линейных, по вектору начального состояния системы V(0) и матрице G определяется вектор V(0⁺) = GV(0).

Через фундаментальную матрицу Ф(Т), которая на каждом интервале дискретности будет зависеть от коэффициента k, определяется расширенный вектор состояния. D конце первого интервала дискретности

V(T) = Ф₀(T)V(0⁺),

где Ф₀(T) – фундаментальная матрица, являющаяся функцией коэффициента k₀.

В линейных системах величина k зависит от критерия оптимальности. В нелинейных системах этот коэффициент зависит еще и от характеристики нелинейности. Если сигнал m(nT⁺) выводит выходную величину нелинейного элемента в зону насыщения, то k следует выбирать таким образом, чтобы обеспечить максимум выходного напряжения, то есть работать при максимальном значении линейного участка, а если лежит на линейном участке, то методика выбора коэффициента k_П совпадает с определением этого коэффициента для линейных систем.

Таким образом, по величине входного сигнала m(nT⁺) и типу нелинейности определяют значение m₂(0⁺). Если выходная величина лежит в зоне насыщения, то k₀ определяют как

,

где m_2max(0⁺) – максимальное значение выхода нелинейного блока.

Для n = 1 имеем следующую систему уравнений

Если больше максимального выхода нелинейного элемента, то определяется по выражению

,

где .

Далее определяем по выражению

.

Определение коэффициентов усиления по приведенной выше методике производят до тех пор, пока не выйдут из зоны насыщения. При работе на линейном участке следует определять коэффициенты усиления по методике линейных систем. Расчет заканчивается при t ³ kT_П, если выполняются условия

x₁(kT_П) = r₁(kT_П) и x₂(kT_П) = x₃(kT_П) = … = x_р(kT_П) = 0,

где x₁(kT_П), x₂(kT_П), …, x_р(kT_П) – координаты системы в k-момент прерывания. Приведенная методика позволяет определить дискретные значения сигналов m(nT⁺) и m₂(nT⁺), по которым затем можно определить z-изображения для определения передаточной функции на входе и выходе дискретного регулятора. Так как известен тип нелинейности (нелинейность безинерционная), то по выходному сигналу m₂(nT⁺) следует графически или аналитически определить сигналы в точке m₁(nT⁺), а затем передаточную функцию цифрового регулятора найти как отношение изображения выходной величины m₁(z) к входной величине m(z). Z- изображения функций m₁(z) и m(z) определяют через решетчатые функции m₁(nT⁺) и m(nT⁺).

Описание работы

Определение фундаментальной матрицы линейной системы (рис. 16.1) проводится по алгоритму

syms s K K0 K1 %Задание символьных переменных

A=[0,0,0,0;0,0,1,0;0,0,-1,K;0,0,0,0] %Матрица состояния

Is=[s,0,0,0;0,s,0,0;0,0,s,0;0,0,0,s] %Единичная матрицы

F=inv([Is]-[A]) %Обратная матрица в частотной области

F1=ilaplace(F) %Обратная матрица во временной области

%Обратная матрица во временной области

%в функции коэффициента усиления K0

F11=[1,0,0,0;0,1,0.632,0.368*K0;0,0,0.368,0.632*K0;0,0,0,1]

B=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;1,-1,0,0]; %Матрица управления

%Расширенный вектор состояния в начале первого интервала дискретности

V0=[1;0;0;0];

%Расширенный вектор состояния в конце первого интервала дискретности

V1=F11*B*V0;

%Расширенный вектор состояния в начале второго интервала дискретности

V10=B*V1

%Обратная матрица во временной области

%в функции коэффициента в усиления K1

F12=[1,0,0,0;0,1,0.632,0.368*K1;0,0,0.368,0.632*K1;0,0,0,1]

%Расширенный вектор состояния в конце второго интервала дискретности

V2=F12*B*V10

В результате выполнения программы получим обратные матрицы в частотной и временной области

.

(16.2)

При t = 1 c она превращается в числовую матрицу

. (16.3)

Матрица изменения коэффициентов управления B в момент квантования определяется из схемы моделирования

U(nT⁺) = U(nT),

x₁(nT⁺) = x₁(nT),

x₂(nT⁺) = x₂(nT),

m(nT⁺) = U(nT) – x₁(nT).

Откуда получаем

.

С учетом вектора начальных условий

.

Определяем расширенный вектор состояния в конце первого интервала дискретности

V1=F11 × B × V0, (16.4)

,

и, после срабатывания импульсного элемента, в начале второго интервала дискретности

V10 = B × V1,

. (16.5)

С учетом значения расширенного вектора состояния в начале второго интервала дискретности определяем расширенный вектор состояния в конце второго интервала дискретности

V2 = F12 × B × V10,

где F12 – фундаментальная матрица функция коэффициента усиления k₁ на втором интервале дискретности; V10 – расширенный вектор состояния в конце первого интервала дискретности

. (16.6)

Выражение (16.6) показывает, что в конечное состояние равновесия система может быть переведена за два периода прерывания. Для этого необходимо выбрать коэффициенты усиления и таким образом, чтобы одновременно выполнялись два условия

x₁(2T) = 0,768k₀ + 0,368(1 – 0,368k₀)k₁ = 1,

x₂(2T) = 0,232k₀ + 0,368(1 – 0,368k₀)k₁ = 0. (16.7)

Первое условие обеспечивает выходной величине заданное значение, а второе условие гарантирует отсутствие пульсаций между интервалами дискретности.

Решить систему уравнений (16.7) можно в пакете (рис. 16.3). В результате решения системы уравнений получаем k₀ = 1,58; k₁ = –1,386, а затем определяем значение входных и выходных сигналов дискретного регулятора в конце первого и второго интервалов дискретности

m(T⁺) = 1 – 0,368k₀ = 0,418;

m₁(0⁺) = k₀m(0⁺) = 1,58;

m₁(T⁺) = k₁m(T⁺) = –0,578

Рис. 16.3 Решение систем уравнений в Simulink

Отношение z–изображения выходных сигналов к выходным определяет z–передаточную функцию цифрового регулятора.

. (16.8)

Используя передаточную функцию регулятора (16.8)в пакете Simulink представлена модель системы (рис. 16.4).

Рис. 16.4. Схема моделирования оптимальных систем

Результаты моделирования представлены на рис. 16.5 и показывают, что выходная величина системы без перерегулирования достигла установившегося значения за два интервала дискретности.

А – выход регулятора, В – выход системы регулирования

Рис. 16.5. Переходные процессы в оптимальной системе с цифровым регулятором

Рассмотрим нелинейную систему, линейная часть которой описывается передаточной функцией

. (16.9)

Схема этой системы приведена на рис. 16.6.

N – нелинейный элемент, D(z) – цифровой регулятор,

W(s) – передаточная функция линейной части)

Рис. 16.6. Структурная схема цифровой системы

По сравнению с рис. 16.2 в приведенной на рис. 16.6 схеме в качестве устройства дискретного отчета использован экстраполятор нулевого порядка (Zero-Order Hold).

Принимаем, что Т_П = 1 с и к входу системы в момент времени прикладывается ступенчатое воздействие с амплитудой r = 2. Требуется произвести расчет цифрового регулятора для получения максимального быстродействия системы при заданной нелинейности (рис. 16.7).

Рис. 16.7. Характеристика нелинейного элемента

По (16.9) на рис. 16.8 представлена схема в переменных состояния.

Рис. 16.8. Схема в переменных состояния

Расширенный вектор состояния системы также, как и в линейной системе регулирования, определяется выражением

.

Матрица состояния А, записана из схемы в переменных состояния

.

Используя схему рис. 16.8 и свойства запоминающего элемента нулевого порядка определим связи фазовых координат до и после срабатывания импульсного элемента

r(nT⁺) = r(nT),

x₁(nT⁺) = x₁(nT),

x₂(nT⁺) = x₂(nT),

m(nT⁺) = r(nT) – x₁(nT).

а затем, определяем матрицу G

Запишем матрицу перехода в частотной области

.

и во временной области

.

Вектор начального состояния системы задан

.

При Т_П = 1 с фундаментальная матрица превращается в матрицу, зависящую от

. (16.10)

Для n = 0 вектор V(0⁺) определяется как

,

откуда m(0⁺) = 2.

Поскольку m(0⁺) больше максимального выхода нелинейного элемента, который равен 1, то

m_2max(0⁺) = 1; k₀ = 0,5.

Из (16.10) при k_П = 0,5 определяем Ф(Т) в конце первого интервала дискретности

.

Вектор состояния системы при t = Т_П (до срабатывания импульсного элемента)

.

В момент (после срабатывания импульсного элемента)

.

Откуда m(T⁺) = 1,632.

Так как m(T⁺) больше максимального выхода нелинейного элемента, то

.

С учетом из (16.10) получены значения Ф(Т)

.

Вектор состояния для t = 2T (n = 1) запишется как

.

Вектор состояния для t = 2T⁺ запишется как

; .

Так как амплитуда сигнала меньше уровня ограничения, то для определения константы необходимо привлечь условия максимального быстродействия, рассмотренные при синтезе цифрового регулятора линейной системы.

Таким образом, как только выходные координаты системы попали на линейный участок, синтез регулятора начинает выполняться по методике линейных систем.

Для n = 2 получено

.

.

Аналогично, для n = 3 (t = 4T_П)

Переходной процесс в системе второго порядка заканчивается за два интервала. Условие окончания заключается в том, что x₁(t) = r_вх, x₂(t) = 0. Используя последнюю матрицу и вышеприведенные условия получаем

1,882 + 0,664k₂ + 0,117(1 – k₂)k₃ = 2,

0,118 + 0,201k₂ + 0,201(1 – k₂)k₃ = 0.

Рис. 16.9. Решение систем уравнений в Simulink

Решая систему уравнений, находим k₁ = 0,341, k₂ = –1,408.

Подставляя найденные значения k₂ в выражение (16.11) определяем

m(3T⁺) = 0,319 – 0,318k₂. (16.11)

Таким образом, сигнал m(T_П) в дискретные моменты времени (0⁺, , , ) принимает значение: 2; 1,632; 0,865; 0,210, а z-изображение этой последовательности имеет вид

M(z) = 2 + 1,632z^-1+ 0,865z^-2+ 0,210z^-3.

Изображение сигналов на выходе нелинейного элемента с учетом нелинейности и коэффициентов усиления k₂ и k₃ принимает вид

M₂(z) = 1 + z^-1+ 0,295z^-2+ 0,296z^-3.

При заданной нелинейности и принятой методике определения k_П сигнал на выходе дискретного регулятора и на выходе нелинейного элемента совпадают m₁(nT_П) = m₂(nT_П) и M₁(z) = M₂(z).

Передаточная функция цифрового регулятора определяется как отношение z-изображения выходного сигнала к входному

. (16.12)

С этим регулятором переходной процесс в системе заканчивается за четыре периода. При отсутствии нелинейности можно было бы в два раза увеличить быстродействие системы. Ввод нелинейного элемента приводит к более длительному переходному процессу.

На рис. 16.13 с учетом передаточной функции (16.9) и (16.12) в пакете Simulink представлена схема моделирования.

А – система без нелинейного элемента, В – система с нелинейным элементом

Рис. 16.13. Схема моделирования дискретной системы

А – система с нелинейным элементом, В – система без нелинейного элемента

Рис. 16.14. Переходные процессы в нелинейной системе с цифровым регулятором

Хотя в системе, представленной на рис. 16.13В, введен нелинейный элемент, переходные функции систем рис. 16.13А и рис. 16.13 совпадают. Это связано с методикой расчета цифрового регулятора, основанной на работе системы с максимально возможными сигналами при условии исключения работы системы в зоне насыщения. Поэтому ни в одном из тактов система не входит в насыщение, что объясняет эквивалентность переходных процессов двух структурных схем (рис. 16.13 и рис. 16.13В).

Результаты моделирования оптимальной системы, представленные на рис. 16.14, показывают, что выходная величина системы (кривая В) достигает установившегося значения без перерегулирования за четыре интервала дискретности. Выход регулятора (кривая А) имеет релейный характер, свойственный оптимальным системам.

Задание

1. В соответствии с заданием выполнить аналитический расчет линейной системы регулирования методом пространства состояний.

2. Определить фундаментальную матрицу как функцию неизвестных коэффициентов усиления.

3. Составить систему алгебраических уравнений, решение которых определяют коэффициенты цифрового регулятора на каждом интервале дискретности.

4. Составить структурную схему, позволяющую решить алгебраическое уравнение.

5. По определенным коэффициентам усиления составить z–изображение сигналов, характеризующих входные и выходные последовательности цифрового регулятора.

6. Определить z–передаточную функцию регулятора.

7. В пакете Simulink составить структурную схему цифровой системы и осуществить моделирование этой системы.

8. В соответствии с заданием выполнить аналитический расчет нелинейной системы регулирования методом пространства состояний.

9. Определить фундаментальную матрицу как функцию неизвестных коэффициентов усиления нелинейной системы.

10. Составить систему алгебраических уравнений, решение которых определяют коэффициенты цифрового регулятора на каждом интервале дискретности.

11. Составить структурную схему, позволяющую решить алгебраическое уравнение.

12. По определенным коэффициентам усиления составить z–изображе-ние сигналов, характеризующих входные и выходные последовательности цифрового регулятора.

13. Определить z–передаточную функцию регулятора.

14. В пакете Simulink составить структурную схему нелинейной цифровой системы и осуществить моделирование этой системы.

Содержание отчета

1. Аналитический расчет исследуемой линейной системы.

2. Система алгебраических уравнений линейной системы и ее решение.

3. Структурная схема решения системы алгебраических уравнений.

4. Структурная схема цифровой системы регулирования.

5. Переходные процессы в системе регулирования.

6. Аналитический расчет исследуемой нелинейной системы.

7. Система алгебраических уравнений нелинейной системы и ее решение.

8. Структурная схема решения системы алгебраических уравнений нелинейной системы.

9.Структурная схема цифровой системы регулирования.

10. Переходные процессы в системе регулирования.

Контрольные вопросы

1. Как определить вектор фазовых координат системы?

2. Как определить расширенный вектор состояния системы?

3. Запишите векторно-матричные уравнения линейных систем с вектором фазовых координат. Дайте характеристику входящих в это уравнение матриц.

4. Запишите векторно-матричное уравнение с расширенным вектором состояния.

5. Как определяется фундаментальная матрица непрерывных систем?

6. С помощью каких команд осуществляется вычисление фундаментальной матрицы в пакете Symbolic Math Toolbox?

7. Как определить фундаментальную матрицу для дискретных систем?

8. Какие критерии оптимальности применяют в данной лабораторной работе и какими математическими условиями они выражены?

9. Дайте обоснование алгоритма расчета переходных процессов в дискретных процессах.

10. Как определяется z–передаточная функция цифрового регулятора?

11. Какие пути увеличения быстродействия системы при сохранении оптимального переходного процесса?

12. Какими параметрами в реальных системах ограничивается быстродействие?

13. Как определить вектор фазовых координат нелинейной системы,

14. Как определить расширенный вектор состояния нелинейной системы?

15. Запишите векторно-матричное уравнение с расширенным вектором состояния.

16. Как определить фундаментальную матрицу для дискретных систем?

17. За счет какого элемента некоторые фазовые координаты цифровой системы меняются скачком?

18. Дайте обоснование алгоритма расчета переходных процессов в дискретных процессах.

19. Каковы пути увеличения быстродействия системы при сохранении оптимального переходного процесса?

14. Какими параметрами в реальных системах ограничивается быстродействие?

Библиографический список:

1. Соседка В.Л. Современная теория управления. – Днiпропетровськ: ДНГУ. – 242 с.

2. Соседка В.Л. Локальные системы автоматики и следящий электропривод. – Днiпропетровськ: ДНГУ. - 119 с.

3. Половко А.М., Бутусов П.Н. Matlab для студента. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 320 с.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab. – СПб: Наука, 2000, – 475 с.

5. Заболотнов Ю.М. Оптимальное управление непрерывными динамическими системами. – Самара: Изд-во СГАУ, 2005. – 129 с.

Содержание

1. Исследование типовых динамических звеньев 3

2. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений и частотных характеристик в Simulink 17

3. Решение дифференциальных уравнений в пакете Simulink 25

4. Моделирование систем автоматического управления

методом вариации постоянных 34

5. Представление линейных моделей систем регулирования

в пакетах Matlab и Simulink 45

6. Устойчивость разомкнутых и замкнутых систем 56

7. Исследование связей между законами регулирования

и требованиями к качеству регулирования 63

8. Исследование систем регулирования в SISO Design Tool 73

9. Исследование системы регулирования

с корректирующими звеньями 84

10. Синтез систем автоматического управления

по заданному расположению корней 92

11. Способы представления дискретных систем

автоматического управления 104

12. Определение амплитудно-фазовых характеристик

дискретных систем 114

13. Исследование устойчивости дискретных систем

на плоскостях P, Z и W 125

14. Исследование дискретных систем регулирования 136

15. Определение структурных схем дискретных систем

по уравнениям пространства состояния

аналогового эквивалента 148

16. Определение параметров цифрового регулятора линейных

и нелинейных систем методом пространства состояний 154

Библиографический список

Содержание

[1] Обозначения матриц соответствуют обозначениям, принятым в теории управления, для теории систем более характерны обозначения .