Представление линейных моделей систем регулирования

В пакетах Matlab и Simulink

Цель работы:

1. Изучение возможностей MatLab и Simulink и получение практических навыков по созданию и преобразованию моделей линейных систем;

2. Изучение возможностей MatLab и получение практических навыков по преобразованию структур моделей линейных систем;

Теоретическое обоснование

Лабораторная работа выполняется на основе моделей и индивидуального задания лабораторной работы №3 и дополнительного индивидуального задания по структурам систем.

В практической работе моделирование является более наглядным представлением систем регулирования, чем передаточные функции и уравнения пространства состояния.

Исследования в пакете Simulink позволяют определить влияние изменения параметров системы при уже выбранной структуре. Пакет Control System Tools (CST) обладает более широкими возможностями, чем Simulink, так как позволяет анализировать и исследовать системы во временной и частотных областях с применением методов современной теории управления. Поэтому часто возникают задачи преобразования структурной схемы Simulink в модель CST. В пакете Simulink структурные схемы одной системы могут иметь разные представления. Чтобы из модели Simulink извлечь математическое описание, в структурную схему системы регулирования необходимо добавить к входу входной порт (блок In1), а к выходу – выходной порт (блок Out1), а затем воспользоваться командой linmod.

Линейные модели могут быть представлены в четырех формах:

– передаточная функция (tf);

– нули, полюса и коэффициент усиления (zpk);

– пространство состояния (ss);

– частотные характеристики (frd).

На рис. 5.1 представлена схема, показывающая связи между математическими моделями, представленными в пакете CST.

Из рис. 5.1 видно, что модели, заданные в форме tf, zpk или ss, взаимно преобразуемы. Переход от формы ss к форме tf и zpk задается командами:

w1=ss(A,B,C,D) %Задание модели в форме ss

w2=tf(w1) %Переход от формы ss к форме tf

w3=zpk(w1) %Переход от формы ss к форме zpk

w4=zpk(w2) %Переход от формы tf к форме zpk.

Рис. 5.1. Схема преобразования моделей в пакете CST

Аналогично можно записать команды, преобразующие модель формы zpk к другим формам представления:

w3=zpk(z,p,k) %Задание модели в форме zpk

w2=tf(w3) %Переход от формы zpk к форме tf

w1=ss(w3) %Переход от формы zpk к форме ss.

Модель в форме frd характеризует систему в частотной области. Исходными данными для создания формы frd являются модели, представленные формами: tf, zpk или ss. Для снятия частотных характеристик на вход системы подают синусоидальный сигнал с заданными частотами и команда frd определяет стационарную реакцию на эти возмущения. Для работы с моделью в форме frd в m-файле следует записать следующую программу, из которой следует, что исходная модель задана в форме tf, а тестовые сигналы задаются вектором fred:

w=tf([1,4,3],[1,7,10]); %Исходные данные

fred=[1,2,5,10]; %Входные воздействия

w1=frd(w,fred) %Реакция на входные воздействия.

В пакете CST также имеются команды, позволяющие получать математическое описание сложных систем по их структурным схемам.

Структурная схема последовательного соединения представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Структурная схема последовательного соединения звеньев

Передаточная функция этого соединения Wопределяется следующими командами:

w=series(w1,w2)

или

w=w1*w2.

Параллельное соединение звеньев показано на рис. 5.3. Передаточная функция Wэтой структуры включает следующие команды:

w=parallel(w1,w2),

или

w=w2+w1.

Рис. 5.3. Структурная схема параллельного соединения

При охвате звена W₁обратной связью структура системы принимает вид (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Структурная схема замкнутой системы регулирования

Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением: w=feedback(w1,w2).

При положительной обратной связи команда определения Wизменяется: w=feedback(w1,w2,+1).

Два звена могут иметь разные входы (горизонтальной конкатенации) – рис. 5.5.

Рис. 5.5. Структурная схема горизонтальной конкатенации

Выходная величина для горизонтальной конкатенации определяется выражением

.

Передаточная функция, соответствующая структуре рис. 5.5, определяется командой:

w=[w1,w2].

Если два звена имеют общий вход, но разные выходы, то такое соединение образует вертикальную конкатенацию (рис. 5.6).

Выходная величина для вертикальной конкатенации определяется:

,

а в пакете CST этому соединению соответствует команда:

w=[w1,w2].

Рис. 5.6. Структурная схема вертикальной конкатенации

При описании моделей систем регулирования в пространстве состояния возникает необходимость компактного описания в соединении блоков, представленных на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Структурная схема результирующей (агрегативной) модели

Математическая запись структурной схемы рис. 5.7 соответствует формированию диагональной матрицы

.

В пакете CST этому преобразованию соответствует команда:

w=append(w1,w2).

Описание работы

Работу выполняют по заданному индивидуальному варианту лабораторных работ 3, 4.

На рис. 5.8 структурная схема системы (mod05_1) представлена передаточной функцией .

Структурная схема системы (mod05_2), представленная на рис. 5.9, выполнена методом прямого программирования исходной системы.

Рис. 5.8. Модель mod05_1

Рис. 5.9. Модель системы, составленная методом прямого программирования

По данной структурной схеме можно определить модель системы.

[A,B,C,D]=linmod('mod05_2'); %Определение матриц системы по модели

%в Simulink

w=ss(A,B,C,D) %Представление матриц в командном окне

figure(1) %MATLAB с выводом фазовых координат

bode(w(1,1)) %Построение ЛАЧХ.

w1=tf(w) %Переход от формы ss к форме tf

w2=zpk(w1) %Переход от формы ss к форме zpk

w3=zpk(w2) %Переход от формы tf к форме zpk.

Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики модели, составленной методом прямого программирования, представлены на рис. 5.10.

На рис. 5.11 представлена схема моделирования системы (mod05_3) методом параллельного программирования с обозначенными выходными фазовыми координатами x₁, x₂ и x₃, которым соответствуют выходные блоки Out2, Out3 и Out4.

Рис. 5.10. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики системы

Рис. 5.11. Модель системы, составленная методом параллельного программирования

[A,B,C,D]=linmod('mod05_3'); %Определение матриц системы по модели в

%Simulink

w1=ss(A,B,C,D) %Представление матриц в командном окне

fred=[1,2,5,10]; %Входные воздействия

w4=frd(w1,fred) %Реакция на входные воздействия

figure(2) %с выводом фазовых координат

bode(w(1,1),w1(1,1),w4(1,1)),grid %Построение ЛАЧХ w и w1

figure(3) %Построение переходных функций h и h1

step(w(1,1),w1(1,1)),grid %по координатам выхода и входа.

На рис. 5.12 представлены амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики системы, смоделированной методом параллельного программирования. Дополнительные блоки Out вводят ограничения на выбор базиса и поэтому матрицы A,B,CиD, полученные по первой и по второй схемам разные, хотя они и описывают процессы в одной системе регулирования. В то же время характеристики (частотные и переходные) обеих моделей системы, характеризующие связь выхода с входом, одинаковы, так как они не зависят от выбора базиса. График переходной функции представлен на рис. 5.13.

Рис. 5.12. АЧХ и ФЧХ систем Рис. 5.13. Переходные функции систем

(рис. 5.9, 5.11) (рис. 5.9, 5.11)

На рис. 5.14 представлена схема моделирования системы (mod05_4) методом последовательного программирования.

Амплитудно-фазовые и фазо-частотные характеристики моделей mod05_2, mod05_3, mod05_4 представлены на рис. 5.15.

[A,B,C,D]=linmod('mod05_4'); %Определение матрицы системы по модели

%в Simulink

w2=ss(A,B,C,D) %Представление матриц в командном окне

%MATLAB

figure(4) %MATLAB с выводом фазовых координат

bode(w(1,1),w1(1,1),w2(1,1)) %ЛАЧХ mod05_2, mod05_3, mod05_4

[a,b]=ss2tf(A,B,C,D) %Определение полиномов числителя

% и знаменателя.

w1=canon(w,'modal') %Определение модели в модальной форме.

Командой canon определена математическая модель системы в модальной форме. Матрицы A, B, C, полученные командами linmod и canon, отличаются, что объясняется особенностями представления математической модели. В модальной модели все фазовые координаты не воздействуют друг от друга и матрица A имеет диагональный вид. Поэтому выходной сигнал по каждой координате определяется произведением соответствующих компонент матриц C и B. Матрицы C и B,полученные командами linmod и canon, могут и не совпадать, но обязательно должно совпадать их произведение.

Рис. 5.14. Модель системы, составленная методом последовательного программирования

Рис. 5.15. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики систем (рис. 5.9, 5.11, 5.14)

На рис. 5.16 представлена структурная схема системы управления, которую необходимо упростить. Структурная схема и передаточные функции звеньев соответствуют индивидуальному заданию.

Сначала необходимо выделить типовые участки, содержащие соединения звеньев (последовательные, параллельные, с обратной связью) для вычисления передаточных функций участков с помощью команд Matlab.

w34=parallel(w3,w4)

w25=feedback(w2,w5).

Рис. 5.16. Структурная схема системы управления

Далее для упрощения структуры необходимо заменить каждый типовой участок звеньев одним звеном с рассчитанной передаточной функцией (рис. 5.17 – 5.19) и повторить процедуру расчета.

Рис. 5.17. Упрощение структурной схемы системы управления

w134=feedback(w1,w34)

Рис. 5.18. Упрощение структурной схемы системы управления

w13425=series(w134,w25)

Рис. 5.19. Упрощение структурной схемы системы управления

w=feedback(w13425,1)

Figure(5)

Step(w),grid

Figure(6)

Bode(w),grid.

График переходной функции представлен на рис. 5.20. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ рассматриваемой системы представлен на рис. 5.21.

Рис. 5.20. Переходная функция Рис. 5.21. Амплитудно-частотная и

исходной системы фазо-частотная характеристики

Задание

1. По заданной передаточной функции (ЛР №3) методом прямого программирования составить схему моделирования, определить размерность вектора фазовых координат и ввести в структурную схему необходимое количество входных и выходных портов. Сохранить схему.

2. Определить по сохраненной схеме матрицы коэффициентов A, B, C и D. Построить частотные характеристики. Осуществить преобразование модели ss в модели tf, zpk, frd.

3. Повторить пункты 1 и 2 для исходной передаточной функции, составив схему моделирования системы методом параллельного программирования.

4. Повторить пункт 1 и 2 для исходной передаточной функции, составив схему моделирования системы методом последовательного программирования.

5. Построить переходные функции схем моделирования для методов прямого, параллельного и последовательного программирования.

6. Согласно варианту индивидуального задания на структурную схему, определить передаточную функцию системы.

7. Построить переходную функцию и частотные характеристики системы.

Содержание отчета

1. Структурные схемы исследуемой системы, полученные методом прямого параллельного и последовательного программирования с указанием портов входа и выхода системы регулирования.

2. Преобразованные модели систем.

3. Передаточная функция системы, полученная по ее структурной схеме.

4. Переходная функция и частотные характеристики системы, заданной структурной схемой.

Контрольные вопросы

1. Чем объяснить то, что матрицы коэффициентов математической модели системы, реализованные методами прямого, параллельного и последовательного программирования, отличаются друг от друга?

2. Как определить переходную функцию, связывающую заданный выход системы с её входом?

3. Какие исходные данные требуются для формирования модели в форме tf?

4. Какие исходные данные требуются для формирования модели в форме zpk?

5. Какие исходные данные требуются для формирования модели в форме ss?

6. Как сформировать выходные сигналы модели, заданной в форме frd?

7. Как записать модель в форме ss если исходные данные заданы в форме tf?

8. Как записать модель в форме ss если исходные данные заданы в форме zpk?

9. Какой командой определяется последовательное соединение звеньев?

10. Какой командой определяется параллельное соединение звеньев?

11. Какой командой определяется соединение звеньев, образующих горизонтальную конкатенацию?

12. Какой командой определяется соединение звеньев, образующих вертикальную конкатенацию?

13. Как определить передаточную функцию замкнутой системы (обратная связь отрицательная)?

14. Как определить передаточную функцию замкнутой системы (обратная связь положительная)?

15. Как, используя матрицы A, B, C, D представить структурную схему системы?

Лабораторная работа № 6