Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Случай параллельных сил.

Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия: R = 0, M₀ = 0.

Здесь О - любая точка плоскости.

Найдем вытекающие из равенств аналитические условия равновесия.

Величины R и М_о определяются равенствами:

где Но R может равняться нулю только тогда, когда одновременно R_x = 0 и R_y = 0. Следовательно, условия будут выполнены, если будет:

Равенства выражают, следующие аналитические условия рав­новесия: для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каж­дую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

; ;

Равновесие плоской системы параллельных сил.

В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а осьОу параллельно им (рис. 29). Тогда проекция каждой из сил на Ox будет равна нулю и первое из 3-х равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:

Где ось Оу параллельна силам.

Рис.29

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми.

В противном случае задачи статически неопределимы.

Решение задач.

При решения задач этого раздела сле­дует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны ранее.

Приступая к решению, надо, прежде всего, установить, равновесие какого именно тела следует в данной задаче рассмотреть. Затем, выделив это тело и рассматривая его как свободное, следует изобразить все действующие на тело заданные силы и реакции отброшенных связей.

Далее следует составить условия равновесия, применяя ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе урав­нений (наиболее простой будет система уравнений, в каждое из ко­торых входит по одному неизвестному).

Для получения более простых уравнений следует (если это только не усложняет ход расчета): а) составляя уравнения проекций, проводить координатную ось, перпендикулярно какой-нибудь неиз­вестной силе; б) составляя уравнения моментов, брать центр моментов в точке, где пересекается больше неизвестных сил.

При вычислении моментов иногда бывает удобно разла­гать данную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы как сумму моментов этих соста­вляющих.

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы и т. п.

Вопросы для самопроверки

- Какая система сил называется сходящейся?

- Как определить равнодействующую системы сходящихся сил путем построения силового многоугольника?

- Сформулируйте геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил.

- Что называется главным вектором системы сил?

- В чем различие между главным вектором и равнодействующей системы сил?

- Для какой системы сил равнодействующая и главный вектор совпадают?

- Назовите методы определения равнодействующей системы сходящихся сил.

- Как выражаются проекции равнодействующей системы сходящихся сил через проекции сил этой системы?

- Определите величину силы по известным проекциям =3кН; =4кН.

- Определить модуль и направления силы, если известны ее проекции =30H; =40H.

- Назовите необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил.

- Что такое силовой многоугольник?

- Запишите условие равновесия системы сходящихся сил в векторной форме.

- Сформулируйте условия равновесия системы сходящихся сил в координатной форме.

- Какие задачи позволяют решать условия равновесия системы сходящихся сил?

- Какой из силовых многоугольников на рисунке относится к уравновешенной системе сходящихся сил?

- Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся сил при построении силового многоугольника?

- Каковы условия и каковы уравнения равновесия системы сходящихся сил, расположенных в пространстве и плоскости?

- Возможно ли равновесие трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости?

- Обязательно ли будет находиться в равновесии тело, если на него в одной плоскости действуют три силы и линии их действия пересекаются в одной точке?

- Что называется равнодействующей системы сил?

- Как сложить силы:

а) геометрически,

б) аналитически?

- Как разложить силу по двум заданным направлениям?

- Что называется моментом силы относительно центра на плоскости?

- Какая система сил называется парой?

- Можно ли заменить действие пары сил на тело одной силой?

- Что такое момент пары?

- Какая плоскость называется плоскостью действия пары?

- Какие пары называются эквивалентными?

- Что называется плечом пары?

- Запишите векторную и скалярную зависимости между элементами пары.

- Почему пара сил не имеет равнодействующей?

- Имеет ли пара сил равнодействующую?

- Каким образом можно уравновесить действие на тело пары сил?

- Что такое момент пары сил?

- Изменятся ли моменты пар сил, если положения сил, показанные на рис. а, изменить на положения, показанные на рис. б?

- Какие пары называются эквивалентными?

- Эквивалентны ли пары сил, изображенные на рисунке?

- Каким образом производится сложение пар сил?

- Сформулируйте условие равновесия пар сил.

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной плоской системы сходящихся сил?

- Сформулируйте теорему о равновесии трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости.

- Чем характеризуется действие пары сил на твердое тело?

- Как направлен вектор момента пары сил?

- Как определяются моменты пар сил, лежащих в одной плоскости?

- Каковы условия эквивалентности пар сил на плоскости и в пространстве?

- Какие преобразования пары сил не изменяют ее действия на твердое тело?

- Почему момент пары сил является свободным вектором?

- Чему равен момент пары сил, эквивалентной двум парам сил, расположенным в пересекающихся плоскостях?

- Чему равен момент пары сил, эквивалентной системе пары сил, расположенных в пространстве и в одной плоскости?

- Каковы условия равновесия системы пар сил, расположенных в пространстве и в одной плоскости?

- Чем можно уравновесить заданную пару сил?

- Как направлены реакции опор балки, нагруженной парой сил и лежащей на двух опорах, из которых одна – шарнирно-неподвижная, а другая – на катках?

- Какой третьей парой сил можно уравновесить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях?

- Сформулируйте теоремы об эквивалентности пар.

- Что называется результирующей парой?

- Запишите формулу для определения результирующей системы пар.

- Назовите условия равновесия плоской системы пар.

- Приведите векторную запись условия равновесия произвольной системы пар.

- При каких условиях плоская система сил приводится к равнодействующей?

- Чему равен главный вектор плоской системы сил, которая может быть приведена к равнодействующей?

- В каком случае главный момент плоской системы сил не зависит от выбора центра приведения?

- Что такое момент силы относительно точки?

- Будет ли изменяться момент силы относительно точки, если, не меняя направления, переносить силу вдоль линии ее действия?

- На тело действуют две силы F₁ = 40 Н и F₂ = 50 Н, как показано на рисунке (а = 0,5 м, b = 0,8 м, = 30°). Какая из сил создает больший момент относительно точки О?

- Что такое главный вектор и главный момент плоской системы сил?

- Как аналитически найти главный вектор и главный момент данной плоской системы сил?

- В чем сходство и в чем различие между главным вектором плоской системы сил и ее равнодействующей?

- Сформулируйте теорему Вариньона.

- Приведите векторную запись теоремы Вариньона.

- Сформулируйте теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил.

- Чему равен главный вектор системы сил?

- Чему равен главный момент системы сил при приведении ее к точке?

- Тело движется равномерно и прямолинейно (равновесие). Чему равны главный вектор и главный момент системы?

- Тело вращается вокруг неподвижной оси. Чему равны главный вектор и главный момент действующей на него системы сил?

- Зависят ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от выбора центра приведения?

- Каковы возможные случаи приведения сил, расположенных произвольно на плоскости?

- К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек на плоскости:

а) имеет различную числовую величину;

б) имеет постоянное значение, не равное нулю;

в) равен нулю.

- Как определяется модуль и направление главного вектора системы параллельных сил на плоскости?

- При каком условии сила, равная главному вектору плоской системы сил, является равнодействующей этой системы?

- Каковы условия и уравнения равновесия плоской системы параллельных сил на плоскости?

- Какое твердое тело называют рычагом?

- Какое условие выполняется, когда рычаг находится в покое?

- Чему равен главный вектор и главный момент произвольной плоской системы сил?

- Сформулируйте три формы уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

- Какие задачи статики называют статически определимыми и какие статически неопределимыми?

- Какую из форм уравнения равновесия целесообразно использовать при определении реакций в заделке?

- Какую из форм уравнения равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?

- В чем сущность решения задач на равновесие сочлененной системы тел?

- Невесомый груз нагружен силой F, как показано на рисунке. Определите (воспользовавшись, если нужно, только калькулятором), под каким углом к брусу направлена реакция шарнира А.

Ответ: а) 45°; б) 145°.

- Чтобы определить момент силы необходимо знать:

1) силу и плечо силы;

2) плечо силы;

3) направление силы;

4) пару сил;

5) расстояние и силу.

- В многоугольнике сил, какой вектор изображает равнодействующую силу

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

- В многоугольнике сил, какой вектор изображает равнодействующую силу

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

- При каком значении угла между силой и осью проекция силы равна нулю?

1) =0;

2) =90°;

3) =180°.

- Если проекция силы на ось = 8 кН , = 3 кН, то действующая сила равна:

1) = кН;

2) = кН;

3) = кН;

4) = кН;

5) = кН.

- Если проекция силы на ось =8 кН , = 6 кН, то действующая сила равна:

1) =10 кН;

2) кН;

3) кН;

4) =11 кН;

5) =12 кН.

- При каком значении угла , проекция силы P на ось y равна нулю

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

- При каком значении угла , проекция силы P на ось y равна нулю?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

- Определить проекцию равнодействующей силы на ось y, если известны проекции каждого из слагаемых векторов:

1) =40 H;

2) =60 H;

3) =-100 H;

4) =-120 H.

- Определить модуль равнодействующей системы сходящихся сил, если проекции слагаемых векторов равны:

1) =50 H;

2) =-30 H;

3) =60 H;

4) =70 H;

5) =-70 H;

6) =40 H;

7) =80 H;

8) =-90 H.

- В каком из указанных случаев плоская система сходящихся сил уравновешена?

1) ; .

2) ; .

3) ; .

4) ; .

- Что определяет эффект действия пары сил?

1) произведение силы на плечо;

2) момент пары и направление поворота.

- Чем можно уравновесить пару сил?

1) одной силой;

2) парой сил.

- Зависит ли эффект действия пары сил на тела от его положения в плоскости?

1) да;

2) нет.

- Какие из приведенных ниже пар эквивалентны?

1) а) сила пары 100 кН, плечо 0,5 м; б) сила пары 20 кН, плечо 2,5 м; в) сила пары 1000 кН, плечо 0,05 м. Направление всех трех пар одинаково.

2) а) М₁=-300 Нм; б) М₂=300 Нм.

- Момент пары сил равен 100 Нм, плечо пары 0,2 м. Определить значении сил пары? Как изменится значение сил пары, если плечо увеличить в два раза при сохранении численного значения момента?

- Будет ли тело находиться в равновесии, если на него действуют три пары сил, приложенных в одной плоскости, и моменты этих пар имеют следующие значения: М₁=-600 Нм; М₂=320 Нм и М₃=280 Нм.

1) тело будет находиться в равновесии;

2) тело не будет находиться в равновесии.

- Зависит ли значение и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы?

1) не зависит;

2) зависит.

- Когда момент силы относительно оси равен нулю?

1) когда силы параллельно оси;

2) когда линия действия силы пересекает ось;

3) Когда сила и ось расположены в одной плоскости.

- Зависит ли момент присоединенной пары сил от расстояния точки приведения до линии действия силы?

1) зависит;

2) не зависит.

- Зависит ли значение и направление главного вектора от положения центра приведения?

1) не зависит;

2) зависит.

- Зависит ли значение и знак главного вектора от положения центра приведения?

1) не зависит;

2) зависит.

- Можно ли определить алгебраическую сумму моментов сил относительно некоторой точки О, если задана только равнодействующая этих сил и ее плечо а относительно этой точки?

1) нельзя;

2) можно.

- Чем отличается главный вектор от равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил?

1) величиной;

2) направлением;

3) величиной и направлением;

4) точкой приложения;

5) ничем.

- Главный вектор системы сил определяется по формуле:

1)

2)

3)

4)

5)