Алгоритм проверки однородности двух многомерных нормальных генеральных совокупностей

1. На уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве кова-

риационных матриц:

S x = S y , при конкурирующей гипотезе

S x ≠ S y . Для

этого найти наблюдаемое значение критерия W : Wнабл. = a ⋅b , где

a = (nx

+ n y

− 2) ln | Sˆxy

| −((n

− 1) ln | Sˆx

| +(n y

− 1) ln | Sˆ y

|),

⎛ 1 1

n

1 ⎜

1 ⎞ 2 p 2

⎠

⎟ ⋅

+3 p −1

b = − ⎜

⎝ x

+

− 1 ny

−

x

− 1 nx

+ ny

− 2 ⎟

,

6( p +1)

Sˆxy

= 1

nx + n y − 2

((n

−1)Sˆx

+ (n y

−1)Sˆ y ),

где

Sˆx ,

Sˆ y

– «исправленные» ковариационные матрицы,

Sˆxy

– «исправ-

ленная» объединенная ковариационная матрица. Сравнить найденное зна-

чение

Wнабл.

xy

с критическим значением

Wкр. = χ

2 (α; p( p +1) / 2)

(см. прило-

жение 5). При этом если

Wнабл. <Wкр. , то гипотезу о равенстве ковариаци-

онных матриц принять, в противном же случае – отвергнуть.

2. Если гипотеза о равенстве ковариационных матриц отвергнута, то гене-

ральные совокупности не однородны и проверку следует завершить.

3. Если же установлено равенство ковариационных матриц, то на уровне зна-

чимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних:

µx = µy , при конкурирующей гипотезе

даемое значение критерия T 2 :

µx ≠ µy . Для этого найти наблю-

T

2

набл.

= nx ny

nx + ny

⋅( X −Y )T Sˆ −1 ( X −Y ) ,

где X , Y – векторы выборочных средних.

4. Найденное значение

T

набл.

сравнить с критическим значением

2 (nx + ny −2) p 2 2

Tкр. =

nx + ny − p −1

⋅F (α; p; nx + ny − p −1) . При этом если

Tнабл. <Tкр. , то

гипотезу о равенстве генеральных средних, а значит, и гипотезу об одно- родности генеральных совокупностей принять, в противном случае – отвергнуть.

Теоретические вопросы и задания

1. Как по выборке найти точечные оценки математического ожидания и ко-

вариационной матрицы многомерной случайной величины?

2. Что называется доверительной областью параметра многомерной случай-

ной величины?

3. Как по выборке найти доверительную область для вектора генеральных средних многомерной случайной величины?

4. Сформулируйте алгоритм проверки однородности двух многомерных ге-

неральных совокупностей.

Задачи и упражнения

1. Среди нескольких промышленных предприятий города случайным обра-

зом для анализа были отобраны 10, для которых получены данные о рабо-

те:

X 1 – объём валовой продукции (млн руб.);

X 2 – производительность

труда (тыс. руб. / чел.);

X 3 – фонд заработной платы (млн руб.).

№
x1	8,1	8,0	7,9	7,9	9,0	8,1	7,5	7,6	8,1	8,5
x2	1,0	1,1	1,1	1,5	1,2	1,3	1,2	1,1	1,0	1,5
x3	3,1	3,5	5,1	4,6	3,0	4,8	4,2	5,0	4,3	6,0

Найдите выборочные вектор средних, ковариационную и корреляционную матрицы.

2. Определите по выборке с надёжностью

γ = 0,95

доверительную область

для вектора генеральных средних двумерной нормальной случайной вели-

чины. Результаты выборки представлены в таблице.

№
x1	10,0	10,2	10,4	10,6	10,8	11,0	11,2	11,4
x2	15,2	13,4	16,2	17,3	16,0	15,6	14,7	12,0

3. На пяти предприятиях, влияние на окружающую среду которых в основ-

ном характеризуется двумя показателями:

X 1 – объём вредных выбросов в

атмосферу (кг);

X 2 – объём вредных выбросов в водоёмы (кг), внедрили

новую технологию. Значения показателей для старой и новой технологий приведены в таблицах.

Старая технология:

№
x1	10,5	11,2	9,5	10,2	10,8
x2	15,1	13,4	14,5	12,4	13,5

Новая технология:

№
y1	10,0	9,5	7,9	8,2	8,2
y2	15,4	13,5	10,0	9,5	11,8

Считая, что рассматриваемая двумерная генеральная совокупность имеет нормальное распределение, проверьте, повлияла ли новая технология на

величины вредных выбросов предприятий. Уровень значимости α = 0,05 .

Домашнее задание

1. В таблице приведены оценки по математическому анализу ( X 1 ) и инфор- мационным технологиям ( X 2 ) десяти студентов специальности «Приклад- ная информатика в менеджменте».

№
x1
x2

а) Найдите выборочные вектор средних, ковариационную и корреляцион- ную матрицы. б) Предполагая, что рассматриваемая двумерная генераль- ная совокупность имеет нормальное распределение, определите по выбор-

ке с надёжностью

ных средних.

γ = 0,95

доверительную область для вектора генераль-

2. Проверьте на уровне значимости α = 0,05 гипотезу об однородности выбо-

рок из трехмерных нормальных генеральных совокупностей, для каждой

из которых получены следующие векторы средних и ковариационные матрицы (объём каждой выборки равен 10):

⎛2,3⎞

⎛ 1,8

1,6

− 0,7 ⎞

⎛2,5 ⎞

⎛ 2,1

1,8

− 0.2 ⎞

⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x = ⎜4,8⎟,

S x =⎜

1,6

2,6

2,9 ⎟,

y = ⎜4,7 ⎟,

S x =⎜

1,8

2,5

2,4 ⎟ .

⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝1,1 ⎠

⎝− 0,7

2,9

1,5 ⎠

⎝1,2 ⎠

⎝− 0.2

2,4

1,9 ⎠

Занятие 12. Множественный корреляционно-регрессионный анализ

На практике часто возникает задача исследования зависимости одной

(результирующей) переменной Y от нескольких объясняющих (факторных)

переменных

X 1 ,

X 2 , …,

X p . Для решения таких задач используется регрес-

сионный анализ.

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативно-

го признака

y = ϕˆ (x1 , x2 , ..., x p )+ε ,

где ε – случайная переменная, зависящая от ряда неучтенных факторов.

Определение 12.1. Функция

функцией.

yˆ = ϕˆ (x1, x2 ,..., x p )называется модельной

Будем рассматривать линейную множественную регрессию. Тогда для

каждого i -го наблюдения значение

yi результирующего признака определя-

ется через

xi1 ,

xi 2 , …,

xip

по формуле

yi =β0 +β1xi1 +β2 xi 2 +... +βp xip +εi ,

или в матричной форме

i =1,

2, ..., n ,

где приняты обозначения

Y = X ⋅β + ε ,

⎛1 x11

x12

...

x1 p ⎞

⎛ y1 ⎞

⎛β0 ⎞

⎛ε1 ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜1 x21

x22

...

x2 p ⎟

⎜ y2 ⎟

⎜β1 ⎟

⎜ε2 ⎟

X = ⎜...

x

...

...

...

... ⎟,

Y = ⎜ ... ⎟,

β = ⎜ ... ⎟,

ε = ⎜ ... ⎟.

⎜

⎜

⎝ n1

xn 2

x

...

⎟

⎟

np ⎠

⎜ ⎟

y

⎝ n ⎠

⎜ ⎟

β

⎜ ⎟

⎝ p ⎠

⎜ ⎟

ε

⎝ n ⎠

Поскольку модельная функция ищется исходя из данных выборки, то оценкой этой модели является выборочное уравнение регрессии

Y = X ⋅r + e ,

где

r = (r , r , K, r )T

– вектор выборочных коэффициентов регрессии,

T

0 1 p

e = (e0

, e1, K, e p )

– вектор случайных факторов.

Рассмотрим следующую задачу множественной регрессии. Требуется:

1) найти функцию

yˆ = r0 +r1x1 +r2 x2 +... + rp x p ;

2) оценить значимость модельной функции, полученной по выборке;

3) оценить значимость коэффициентов регрессии;

4) оценить неизвестное значение зависимой переменной

y0 (прогноз значе-

ния), а также построить для него доверительный интервал.