Многомерное распределение и его характеристики

Часто результат испытания характеризуется не одной случайной величи-

ной, а некоторой системой случайных величин

X1 ,

X2 , …,

Xp, которую

также называют многомерной ( p-мерной) случайной величиной или случай-

ным вектором

X= ( X1 , X2 , ..., Xp) . При этом каждая случайная величина Xi

( i=1, ..., p) называется компонентой случайного вектора X.

Определение 7.1. Если все компоненты случайного вектора Xявля-

ются дискретными (непрерывными) случайными величинами, то случайный вектор называется дискретным(непрерывным) соответственно.

Определение 7.2. Функцией распределения p-мерной случайной вели-

чины

X= ( X1 , X2 , ..., Xp)

называется функция

F( x1 ,

x2 , ...,

xp) , которая для

каждого упорядоченного набора

( x1 ,

x2 , ...,

xp)

действительных чисел равна

вероятности совместного выполнения k событий:

X p < x p , т.е.

X 1 < x1 ,

X 2 < x2 , …,

F ( x1 ,

x2 , ...,

x p ) =P ( X 1 < x1 ,

X 2 < x2 , …,

Xp< xp).

Рассмотрим две дискретные случайные величины Xи Y, или, что то же

самое, двумерную дискретную случайную величину

( X, Y) , исчерпывающим

описанием которой является закон её распределения – таблица, в каждой

клетке

(i, j)

которой располагаются вероятности произведения событий

pij

= P(( X

= xi )(Y = y j )):

Y X	y1	K	ym	m ∑ pij j =1
x1	p11	K	p1m	p1•
M	M	O	M	M
xn	pn1	K	pnm	pn•
n ∑ pij i=1	p•1	K	p•m

Определение 7.3. Плотностью вероятности (плотностью распре-

деления, совместной плотностью) двумерной непрерывной случайной вели-

чины

( X, Y)

называется вторая смешанная частная производная её функции

распределения:

p( x, y) = ∂

F( x, y) .

∂x∂y

Определение 7.4. Условным распределением случайной величины X называется её распределение, полученное при условии, что величина Y при- няла определённое значение или попала в некоторый интервал.

j

Вероятности этого распределения для дискретных случайных величин находятся по формуле:

PY = y

( X = xi ) =

P(( X

= xi )(Y = y j ))

,

P(Y= yj)

а плотность вероятности для непрерывных величин – по формуле:

py(x) =

p(x, y) .

p(y)

Замечание. Аналогично определяется условное распределение случай-

ной величины Y .

Определение 7.5. Случайные величины X и Yназываются незави-

симыми, если функция распределения

F( x, y)

случайной величины

( X, Y)

представима в виде произведения двух функций:

F( x, y) = F1 ( x) ⋅ F2 ( y) .

Замечание. Если случайные величины Xи Yнезависимы, то условные

вероятности (плотности вероятности) каждой из них совпадают с соответст-

вующими безусловными вероятностями (плотностями вероятности).

Характеристиками степени зависимости случайных величин X и Y яв-

ляются ковариация и коэффициент корреляции.

Определение 7.6. Ковариацией

K( X,Y)

двух случайных величин Xи

Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

K ( X ,Y ) = M (( X

− M ( X )(Y − M (Y )).

Замечание. На практике

K( X,Y)

удобно находить по формуле:

K( X,Y) = M( X⋅Y) − M( X) ⋅ M(Y) .

Определение 7.7. Коэффициент корреляции двух случайных вели-

чин – это отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

ρ( X,Y) =

K( X,Y) .

σ ( X ) ⋅ σ (Y )

Замечание. Коэффициент корреляции ρ принимает значения из

отрезка

[−1; 1] , причём при линейной функциональной зависимости между

величинами

ρ= ±1.

Определение 7.8. Случайные величины Xи Yназываются некорре-

лированными, если

ρ(x, y) = 0

(или, что то же самое,

K(X,Y) = 0).

Теорема 7.1. Если случайные величины независимы, то они некоррели-

рованы.

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: некоррелированные случайные величины могут быть зависимы. Однако если обе случайные величины имеют нормальное распределение, то из некоррелированности этих величин следует их независимость.

Для p -мерной случайной величины дующие числовые характеристики.

X= (X1 , X2 ,...,Xp)

вводятся сле-

Определение 7.9. Математическим ожиданием p -мерной случай-

ной величины называется p -мерный вектор, координатами которого явля-

ются математические ожидания соответствующих её компонент:

M(X) = (M(X1 ), M(X2 ),..., M(Xp)).

Аналогом дисперсии служит ковариационная матрица и её определитель,

называемый обобщённой дисперсией p -мерной случайной величины.

Определение 7.10. Ковариационной матрицей p -мерной случайной величины называется квадратная матрица порядка p , составленная из ко-

вариаций всевозможных пар компонент этой величины:

⎛ s 2

...

s 2 ⎞

⎜ 11

1 p ⎟

ij

i

S = ⎜ M O

⎜ 2

M ⎟, где

2 ⎟

s 2 = K (X , X

j ) .

⎝s p1

...

s pp ⎠