Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоян-
ной:
M(C) = C.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожида-
ния:
M(k⋅ X) = k⋅M( X) .
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме
их математических ожиданий:
M( X+Y) = M( X) + M(Y) .
4. Математическое ожидание произведения двух независимыхслучайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M( X⋅Y) = M( X) ⋅M(Y) .
Определение 4.5. Дисперсией
D( X)
дискретной случайной величины
X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ма-
тематического ожидания:
D( X) = M(X− M( X))2 .
Смысл дисперсии заключается в том, что она характеризует степень рас-
сеивания, разброс значений случайной величины около среднего значения.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием ее квадрата и квадратом ее математического ожидания:
D( X) = M( X2 ) − M2 ( X) .
2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
M(C) = 0 .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, при этом воз-
ведя его в квадрат:
D(c⋅ X) = c2 ⋅ D( X) .
4. Дисперсия суммы двух независимыхслучайных величин равна сумме их
дисперсий:
D( X+Y) = D( X) + D(Y) .
5. Дисперсия разности двух независимыхслучайных величин равна сумме
их дисперсий:
D( X−Y) = D( X) + D(Y) .
Замечание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величи- ны, что на практике не всегда удобно. Поэтому в таких случаях в качестве показателя рассеивания случайной величины используют среднее квадрати-
ческое отклонение σ(X) =
D(X) .
Пример 4.1. За 5 лет фирма может обанкротиться с вероятностью 1/2, выжить в конкурентной борьбе с вероятностью 1/3 и разделиться на две фирмы с вероятностью 1/6. В следующие пять лет с каждой фирмой может произойти то же самое с теми же вероятностями. Составьте закон распреде- ления числа фирм к концу второй пятилетки. Найдите математическое ожи- дание числа фирм к концу второго пятилетия.
Решение. Случайная величина X– число фирм к концу второго пяти-
летия – может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Найдем, например,
P( X
= 2) .
Событие
X= 2
происходит в том случае, если к концу первого пятилетия ос-
таётся одна фирма, а к концу второго – две, или же к концу первого стано- вится две и во втором пятилетии либо обе фирмы выживают, либо одна из них банкротится, а другая делится. Таким образом,
P( X
= 2) =
1 ⋅ 1
1 ⎛1 1
+ ⎜ ⋅
+ 2 ⋅ 1
1 ⎞
⋅ ⎟ =
11 .
3 6
Закон распределения имеет вид:
6 ⎝3 3
2 6 ⎠
| xi | |||||
| pi | 17/24 | 1/6 | 11/108 | 1/54 | 1/216 |
Математическое ожидание равно
M ( X ) = 0 ⋅17 +1⋅ 1 + 2 ⋅ 11
+3 ⋅ 1
+4 ⋅ 1
≈ 0,44 .
24 6
108 54
Одними из наиболее важных на практике дискретных случайных вели- чин являются величины, имеющие биномиальное распределение и распреде- ление Пуассона.
Пусть проводится nнезависимых испытаний, в каждом из которых ве-
роятность появления события Aпостоянная и равна p,
0 < p<1. Случайная
величина X – число наступлений события A в n независимых испытаниях – имеет возможные значения: 0, 1, …, m , …, n , а их вероятности находятся по формуле Бернулли.
Определение 4.6. Дискретная случайная величина X имеет биноми- альное распределение, если она принимает значения 0, 1, …, m , …, n с вероятностями
( ) m
m n−m
где
q=1 − p.
PX= m
=Cnpq ,
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по
биномиальному закону с параметрами n и p ,
D( X) = npq.
M( X) = np, а ее дисперсия
Биномиальное распределение широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании систем массо- вого обслуживания и в других областях.
Определение 4.7. Дискретная случайная величина Xимеет распре-
деление Пуассона с параметром
0, 1, 2, …, m , … с вероятностями
λ> 0 , если она принимает значения
m
P(X
= m)= λ
m!
e−λ.
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по
закону Пуассона с параметром λ,
M( X) = λ
и ее дисперсия
D( X) = λ.
Распределение Пуассона часто называют законом редких событий. По этому закону распределены, например, число рождений четверней, число сбоев на автоматической линии, число «требований на обслуживание», по- ступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.
Теоретические вопросы и задания
1. Дайте определение случайной величины.
2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?
3. Дайте определение математическому ожиданию дискретной случайной величины. Какими свойствами оно обладает?
4. Что называется дисперсией дискретной случайной величины? Назовите её
свойства.
5. Дайте определения биномиального распределения, распределения Пуас-
сона.
Задачи и упражнения
1. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 500 руб. Составьте закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. В юридический отдел фирмы поступили на проверку 10 договоров подряда и
5 договоров поставки. Для проверки случайным образом отбираются четыре. Составьте закон распределения числа договоров подряда среди отобранных. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3. Найдите закон распределения числа пакетов трёх акций, по которым вла- дельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
4. Страховая компания планирует заключить 900 договоров страхования.
Вероятность наступления страхового случая по каждому из них равна 0,05. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа страховых случаев.
5. Пусть X– выручка фирмы в долларах. Найдите распределение выручки в
рублях
Z= X⋅Y
в пересчёте по курсу доллара Y, если выручка Xне за-
висит от курса Y, а распределения Xи Yимеют вид
|
|
Домашнее задание
1. Клиенты банка не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Со- ставьте закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 вы- данных. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра- тическое отклонение этой случайной величины.
2. В лотерее разыгрываются: 5 телевизоров стоимостью 4000 руб., 5 DVD- плееров стоимостью 3000 руб. и 10 радиотелефонов стоимостью 1000 руб. Всего продаётся 1000 билетов по 100 руб. каждый. Студент покупает один билет. Найдите математическое ожидание чистого выигрыша.
3. Магазин заказал 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьётся, равна 0,003. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа разби- тых бутылок.
4. Математическое ожидание случайной величины X равно 3, а дисперсия –
1,2. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче-
ское отклонение случайной величины Y= 3 ⋅ X− 2 .
Занятие 5. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей. Числовые характеристики непрерывных
Случайных величин
Определение 5.1. Функцией распределения случайной величины Xна-
зывают функцию
F( x) , которая для каждого действительного значения xрав-
на вероятности того, что случайная величина Xпримет значение, меньшее x:
F( x) = P( X
< x) .