Механика движущихся жидкостей.

ВВЕДЕНИЕ

При изучении движения жидкостей и газов применяются различ­ные способы описания движения. Наиболее часто используется метод, предложенный Эйлером. Но Эйлеру в области пространства, занятой движущейся жидкостью, выделяется точка, в которой определяются параметры движения различных жидких частиц, проходящих через эту точку в различные моменты времени.

Основной задачей механики движущейся жидкости является нахождение распределений скорости, плотности и давления по потоку жидкости:

Для установившегося потока, когда параметры потока в фиксированной точке его не изменяются с течением времени, задача сводится к нахождению распределений:

Ещё более упрощается задача для идеальной жидкости. В случае установившегося потока идеальной жидкости необходимо найти распределения:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.Линией тока называют кривую, в каждой точке которой касатель­ные к ней совпадают по направлению с вектором скорости в данный момент времени.

2.Поверхностью тока называют поверхность, образованную линиями в тока.

3.Поверхность тока, проходящую через замкнутый контур, называют трубкой тока.

4.Часть потока жидкости, ограниченную трубкой тока, называют струёй жидкости.

Пpи установившемся потоке жидкость внутри трубки тока а движется как в трубке с твердыми стенками.

РАСХОД ЖИДКОСТИ

Различают объемный, массовый и весовой расходы жидкости. Объемным расходом называют объем жидкости, протекающий в единицу времени через заданную площадку. Для площадки элементарно малой площади dS объемный расход равен:

Аналогично массовый расход определяется величиной протекающей через площадку массы жидкости в единицу времени:

Вес жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, называют весовым расходов:

В этих выражениях: - скорость жидкости, r - плотность жидкости, g - удельный вес жидкости.

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ ЖИДКОСТИ

Оделим участок струи жидкости (рис.74). Через левое сечение площади S₁ в участок трубки тока в единицу времени втекает жидкость со скоростью v₁ , принимаемой одинаковой по сечению. Массовый расход жидкости в этом сечении равен:

Аналогично массовый расход для правого сечения равен:

(рис. 74)

Для того, чтобы в выделенном участке трубки тока не происходило накопление жидкости или, наоборот, уменьшение массы, массовые расходы в левом и правом сечениях должны быть равны. Такой вывод можно сделать для любого другого сечения, т.е.:

Это и есть уравнение неразрывности струн жидкости. В случае несжимаемой жидкости:

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Как и для твёрдых тел, для жидкости полная механическая энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии, кинетическая энергия движущейся массы жидкости равна:

Что касается потенциальной энергии, то она будет определяться не только положением жидкости в поле тяготения Земли, но и внутренним состоянием ее. Соответственно, различают потенциальную энергию положения:

И потенциальную энергию состояния жидкости:

Полная энергия движущейся жидкости равна:

(292)

Удельной энергией называют полную энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости:

(293)

В такой записи все члены удельной энергии имеют размерность длины и называются соответственно: геометрической, пьезометрической высотой и высотой

скоростного напора. (рис. 75)

В установившемся потоке невязкой жидкости выделим участок трубки тока (рис.75). Высоты центров сечений, давление, удельный вес, скорость жидкости для левого и правого сечений равны

и:

Если весовой расход в левом сечении участка трубки тока равен , то в единицу времени в выделенный участок втекающей жидкостью вносится энергия:

Одновременно в единицу времени через правое сечение на из трубки тока удаляется энергия:

При установившемся потоке невязкой жидкости полная энергия жидкости в участке трубки тока не изменяется, т.е.:

(294)

Учитывая, что, по уравнению неразрывности струи:

получим окончательно математическую формулировку закона Бернулли:

(295)

Физически закон Бернулли (уравнение Бернулли) имеет смысл закона сохранения энергии с учетом закона сохранения массы.

ФОРМУЛА ТОРИЧЕЛЛИ

(рис. 76)

формула Торричелли позволяет определить скорость истечения жидкости из отверстия в сосуде. Предположим, что в широкий сосуд площади сечения S налита жидкость, свободная поверхность которой находится на высоте Z над центром малого отверстия площади в боковой стенке сосуда (рис.76). Давление на свободной поверхности жидкости н в вытекающей струе непосредственно за отверстием равно атмосферному Р_а. Пусть скорость истечения жидкости равна , а скорость понижения уровня жидкости в сосуде - . Жидкость будем считать несжимаемой.

Запишем уравнение Бернулли, сравнивая сечение для свободной поверхности жидкости с сечением отверстия:

Т.к. площадь сечения отверстия мала по сравнению с сечением сосуда, а жидкость несжимаема, то:

откуда следует формула Торричелли:

(296)