Вычисление приближенных значений.

Цель:научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешностей.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 3.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение погрешности приближения;

- вычисление абсолютной и относительной погрешности приближения;

- нахождение границ погрешностей приближений;

- нахождение суммы, разности приближенных значений с учетом границ погрешностей;

- нахождение произведения, частного приближенных значений с учетом границ погрешностей;

- выполнение арифметический действий над приближенными значениями без учета границ погрешностей.

Краткая теоретическая справка

Если результат измерения или вычисления величины x с некоторой точностью равен Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то Вычисление приближенных значений. - student2.ru называют приближенным значением (приближением) величины x.

Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближения Вычисление приближенных значений. - student2.ru.

Вычисление приближенных значений. - student2.ru

Модуль разности между точным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью приближения Вычисление приближенных значений. - student2.ru.

Вычисление приближенных значений. - student2.ru

В случаях, когда неизвестно точное значение величины и из-за этого нельзя найти абсолютную погрешность приближения, указывают положительное число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. Это число называют границей абсолютной погрешности.

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то Вычисление приближенных значений. - student2.ru есть граница абсолютной погрешности.

Тогда Вычисление приближенных значений. - student2.ru ,т.е. истинное значение величины x заключается в пределах Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Для характеристики качества измерения используют понятие относительной погрешности. Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения.

Вычисление приближенных значений. - student2.ru

Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.

Вычисление приближенных значений. - student2.ru , где Вычисление приближенных значений. - student2.ru - граница относительной погрешности.

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru - граница абсолютной погрешности, то граница относительной погрешности равна

Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru с относительной точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru с относительной точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то Вычисление приближенных значений. - student2.ru с относительной точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru с относительной точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru с относительной точностью до Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то относительная точность приближенного равенства Вычисление приближенных значений. - student2.ru есть Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.

Практические задания для аудиторной работы

1. Найти погрешность, абсолютную и относительную погрешность приближенного значения Вычисление приближенных значений. - student2.ru величины Вычисление приближенных значений. - student2.ru.

2. Определить точность приближенного равенства Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

1.,2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. Определить относительную точность приближенного равенства Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. Найти периметр Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной Вычисление приближенных значений. - student2.ru м и длиной Вычисление приближенных значений. - student2.ru м.

6. Вычислить периметр четырехугольника Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1.,2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. Найти разность Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до 1%, Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до 2%.

5. Вычислить Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до 1%.

6. Найти произведение чисел Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 2

1.,2. а)Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. Найти периметр прямоугольника Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

5. Вычислить площадь ромба Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если его диагонали равны Вычисление приближенных значений. - student2.ru см, Вычисление приближенных значений. - student2.ru см.

6. Вычислить периметр Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 3

1.,2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. Найти разность Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до 0,1%, Вычисление приближенных значений. - student2.ru с точностью до 1%.

5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной Вычисление приближенных значений. - student2.ru м и длиной Вычисление приближенных значений. - student2.ru м.

6. Найти произведение чисел Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 4

1.,2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru; Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. Найти периметр прямоугольника Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

5. Вычислить площадь ромба Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если его диагонали равны Вычисление приближенных значений. - student2.ru см, Вычисление приближенных значений. - student2.ru см.

6. Вычислить периметр Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru , Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют погрешностью приближения?

2. Что такое абсолютная погрешность приближения?

3. Какую погрешность называют относительной?

4. Что называют границами абсолютной и относительной погрешностей?

5. Какая существует связь между абсолютной и относительной погрешностями?

6. Чему равна погрешность суммы и разности приближенных значений?

7. Как вычислить погрешность произведения и частного приближенных значений?

8. Что такое верные и строго верные числа в записи приближенных значений?

9. Какие цифры в записи приближенного значения называют значащими?

10. Какими правилами пользуются при вычислениях без учета границ погрешностей?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 4

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями

Цель:научиться применять свойства степени для преобразования степенных выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 4.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление значения выражения с применением свойств степени;

- решение уравнений;

- упрощение буквенных выражений с применением свойств степени.

Краткая теоретическая справка

Степенью числа a с натуральнымпоказателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , ( Вычисление приближенных значений. - student2.ru ), то Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Свойства степени

1. Вычисление приближенных значений. - student2.ru ;

2. Вычисление приближенных значений. - student2.ru ;

3. Вычисление приближенных значений. - student2.ru ;

4. Вычисление приближенных значений. - student2.ru ;

5. Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Практические задания

1. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2. Решите уравнение.

3. Упростить выражение.

Для аудиторной работы

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 2

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 3

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 4

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-3.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Выражение какого вида называют степенью?

2. Что понимают под Вычисление приближенных значений. - student2.ru , где n – натуральное число?

3. Что понимают под Вычисление приближенных значений. - student2.ru , где Вычисление приближенных значений. - student2.ru и n – натуральное число?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 5

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических

выражений, содержащих корни n-ой степени ( Вычисление приближенных значений. - student2.ru )

Цель:научиться выполнять преобразования и находить значения выражений, содержащих корни n-й степени.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 5.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление значения корня n-й степени;

- извлечение корня из произведения и частного;

- извлечение корня из корня;

- возведение корня в степень.

Краткая теоретическая справка

Корнем n-й степени из числа Вычисление приближенных значений. - student2.ru называется такое число, n-я степень которого равна Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Обозначается Вычисление приближенных значений. - student2.ru , где Вычисление приближенных значений. - student2.ru - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня ( Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; Вычисление приближенных значений. - student2.ru ).

По определению Вычисление приближенных значений. - student2.ru , если Вычисление приближенных значений. - student2.ru или Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Основные свойства арифметического корня n-й степени

1) Корень из произведения:

Вычисление приближенных значений. - student2.ru ,

где Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2) Корень из дроби:

Вычисление приближенных значений. - student2.ru ,

где Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3) Возведение корня в степень:

Вычисление приближенных значений. - student2.ru ,

где Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4) Извлечение корня из корня:

Вычисление приближенных значений. - student2.ru ,

где Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

5) Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Практические задания

1. Найти значение выражения, используя свойства корня из произведения и из частного.

2. Вычислить, используя свойства извлечения корня из корня.

3. Преобразовать и найти значение выражения с применением свойства возведения корня в степень.

4. Решить уравнение.

Для аудиторной работы

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; г) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; г) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 2

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; г) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 3

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; г) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 4

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; г) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

4. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-4.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют корнем n-й степени из действительного числа?

2. Может ли корень четной степени из положительного числа быть отрицательным?

3. При каком условии можно извлечь корень n-й степени из отрицательного числа?

4. Как называется корень n-й степени, если n=2, n=3?

5. Свойства корня n-й степени.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 6

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени и корни

Цель:научиться применять свойства степени и корня для преобразования алгебраических выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 6.

Виды самостоятельной работы:

- сравнение выражений;

- вычисление значения выражения с применением свойств степени и корня;

- упрощение буквенных выражений с применением свойств степени и корня;

- решение уравнений графическим способом;

- решение уравнений путем введения новой переменной.

Краткая теоретическая справка

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru - обыкновенная дробь ( Вычисление приближенных значений. - student2.ru ) и Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то под Вычисление приближенных значений. - student2.ru понимают Вычисление приближенных значений. - student2.ru :

Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Если Вычисление приближенных значений. - student2.ru - обыкновенная дробь ( Вычисление приближенных значений. - student2.ru ) и Вычисление приближенных значений. - student2.ru , то под Вычисление приближенных значений. - student2.ru понимают Вычисление приближенных значений. - student2.ru :

Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Для степени с рациональным показателем справедливы те же свойства, что и для степени с целым показателем.

Пусть a > 0, b > 0, r, s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. ar · as = ar + s.

2. ar : as = ar – s.

3. (ar)s = ars.

4. (ab)r = ar · br .

5. Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Практические задания

1. Расположить числа в порядке возрастания.

2. Найти значение выражения.

3. Упростить выражение.

Для аудиторной работы

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 2

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 3

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Вариант 4

1. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru и Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

2. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; в) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

3. а) Вычисление приближенных значений. - student2.ru ; б) Вычисление приближенных значений. - student2.ru .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-3.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют корнем n-й степени из действительного числа?

2. Свойства корня n-й степени.

3. Что понимают под Вычисление приближенных значений. - student2.ru , где n – натуральное число?

4. Что понимают под степенью с дробным показателем?

5. Что понимают под Вычисление приближенных значений. - student2.ru , где Вычисление приближенных значений. - student2.ru ?

6. Свойства степени с действительным показателем.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 7

Наши рекомендации