Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке ( ). Пусть х0Î( ), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х0 интервал (х0 − δ;х0 + δ) и обозначать его О(х0;δ).
Определение.Если можно указать такую δ-окрестность точки х0, принадлежащую ( ), что для всех хÎО(х0;δ), х ≠ х0, выполняется неравенство
f(x0) > f(x),
то у0 = f(x0) называют максимумом функции у = f(x)и обозначают через max f(x) (рис.17.1).
Если же для всех хÎО(х0;δ), х ≠ х0, выполняется неравенство
f(x0) < f(x),
то у0 = f(x0) называют минимумом функции у = f(x)и обозначают через min f(x) (рис.17.2.).
Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов ой же функции (рис.17.3).
Определение.Максимум и минимум функции называют экстремумом.Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума).
В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.
Доказательство. Пусть х0 ─ точка экстремума дифференцируемой функции f(x). Для определённости положим, что х0 ─ точка максимума. Тогда для достаточно малых ( < δ, δ > 0) , поэтому . Теперь
< 0 при > 0;
> 0 при < 0;
откуда
≤ 0,
≥ 0.
Так как функция дифференцируема, то
0 ≤ = f '(x0) = ≤ 0,
откуда следует f '(x0) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х0 ─ точка минимума функции.
Замечание 1. Если f '(x0) = 0, то отсюда ещё не следует, что х0 ─ точка экстремума. Например, для функции f(x) = x3, f '(x) = 3x2, f '(0) = 0, но х0 = 0 не является точкой экстремума, т.к. f(x) > 0 при х > 0 и f(x) < 0 при х < 0 (рис.17.4).
Замечание2.Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = не имеет производной в точке х0 = -1, но достигает в ней максимума (рис.17.5).
Функция у = не имеют конечной производной в точке х0 = 0, т.к.
у' = при х = х0 = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рис.17.6).
Определение.Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.
Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.
Определение.Говорят, что функция у = f(x) меняет знак при переходе через точку х=х0,если f(x1)f(x2) < 0 для любых х1, х2 из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х1 < x0 < x2; знак меняется с плюса на минус, если f(x1)>0, f(x2) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f(x1) < 0, f(x2) > 0.
Теорема (достаточное условие экстремума).
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. если в точке х = х0 производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 является точкой экстремума, причём: 1) х0 ─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х0 ─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.
Доказательство. Пусть в точке х0 производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е. f '(x0) = 0, f '(x) < 0 при х0 −δ < x < x0, f '(x) > 0 при х0 < x < x0 + δ (δ>0). Тогда функция f(x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывание (х0 −δ;х0) и возрастает на интервале (х0;х0+δ), т.е. f(x0) < f(x) для всех хÎО(х0,δ)= =(х0−δ;х0+δ), х ≠ х0. Следовательно, х0 ─ точка минимума.
Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с плюса на минус.
Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью второй производной.
Теорема (достаточное условие экстремума).
Если в точке х = х0 первая производная дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 функции у = f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х0 является точкой экстремума, причём: 1) х0 ─ точка минимума, если f ''(x0) > 0; 2) х0 ─ точка максимума, если f ''(x0) < 0.