Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.

Определение. Ступенчатойбудем называть матрицу, которая обладает следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая,

2) если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и R, соответственно, то k < R.

Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (i+ 1)-й строке. Например, матрицы

А₁ = , А₂ = , А₃ =

являются ступенчатыми, а матрицы

В₁ = , В₂ = , В₃ =

ступенчатыми не являются.

Теорема 5.1.Любую матрицу можно привести к ступенчатой с помощью элементарных преобразований строк.

Проиллюстрируем эту теорему на примере.

А=

.

Получившаяся матрица ─ ступенчатая.

Определение. Рангом матрицыбудем называть число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Например, ранг матрицы А в предыдущем примере равен 3.

Определители второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

А = .

Определение. Определителем второго порядка,соответствующим матрице А,называется число, вычисляемое по формуле

│А│= = .

Элементы a_ij называются элементами определителя│А│, элементы а₁₁, а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₁₂, а₂₁ ─ побочную.

Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А = .

Определение. Определителем третьего порядка,соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│А│= = .

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника:

=─ .

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение. Минором M_ijэлементаa_ij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнениемA_ij элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j.

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во. По определению

= . (1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраически дополнения А₂₁, А₂₂, А₂₃:

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = -( ) = ,

А₂₂ = (-1)²⁺² = ,

А₂₃ = (-1)²⁺³ = - ( ) = .

Преобразуем теперь формулу (1)

│А│= ( ) + ( ) + ( ) = А₂₁ + А₂₂ + А_23.

Формула

│А│= А₂₁ + А₂₂ + А_23.

называется разложением определителя│А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца

6.3. Определитель n-го порядка (n Î N).

Определение. Определителем n-го порядка,соответствующим матрице n-го порядка

А =

называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

│A│= А_i1 + A_i2 + … + A_in = А_1j + A_2j + … + A_nj

Нетрудно заметить, что при n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка. Если n = 1, то по определению будем считать |A|=|a |=a .

Свойства определителей.

Определение. Матрицу вида

или

будем называть треугольной матрицей.

Свойство 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

= = .

Свойство 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Свойство 3.При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.

│А│= │А^t│.

Свойство 4.Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого элемента некоторой строки на число k, то

│В│= k│А│.

Свойство 5.

= + .

Свойство 6.Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк,

то│В│= −│А│.

Свойство 7.Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 8.Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Свойство 9.Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.

Обратная матрица.

Определение.Квадратная матрица А порядка n называется обратимой,если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е_n. В этом случае матрица В называется обратной к матрицеА и обозначается А^-1.

Теорема 2.Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратимая матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В ─ обратимые матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ)^-1 =

= В^-1 ×А^-1.

Доказательство.

1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Е_n и АС = СА = Е_n. Тогда В = ВЕ_n = В(АС) = (ВА)С = Е_nС = С.

2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А^-1, ей обратная, причём

АА^-1 = Е_n.

По свойству 9 определителя │АА^-1│=│А││А^-1│. Тогда │А││А^-1│=│Е_n│, откуда

│А││А^-1│= 1.

Следовательно, │А│¹ 0.

3) Действительно,

(АВ)(В^-1А^-1) = (А(ВВ^-1))А^-1 = (АЕ_n)А^-1 = АА^-1 = Е_n.

(В^-1А^-1)(АВ) = (В^-1(А^-1А))В = (В^-1Е_n)В = В^-1В = Е_n.

Следовательно, АВ ─обратимая матрица, причём (АВ)^-1 = В^-1А^-1.

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема 3. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │А│¹ 0, то

А^-1 = .

Систем линейных уравнений.

Совокупность уравнений вида

(1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестнымих_1, х_2,…, х_n. Числа a_ij называются коэффициентами системы,а числа b_i ─ свободными членами.

Решением системы (1)называется совокупность чисел с₁, с₂,…, с_n, при подстановке которых в систему (1) вместо х₁, х₂,…,х_n, получаем верные числовые равенства.

Решить систему ─ значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

Матрица, составленная из коэффициентов системы

А =

Называется матрицей системы (1). Если к матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим матрицу

В = ,

которую называют расширенной матрицей системы (1).

Если обозначим

Х = , С = , то систему (1) можно записать в виде матричного уравнения АХ=С.