ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8

Тема: Приближённые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Пикара – приближённый аналитический метод.

Задача Коши: решить ОДУ y` = f(x,y) c начальным условием y(x0)=y0/

Задача Коши имеет единственное решение, если функция f(x,y) непрерывна в окрестности точки (x0,y0) и имеет ограниченную частную производную по y – f`y.

Формула Пикара: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

В области R{|x-x0|<a;|y-y0|<b} погрешность оценивается формулой:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

где M=max|f(x,y)|; N=max|f`y(x,y)|; h=min(a,b/M).

Пример. Методом Пикара найти три первых приближённых решения дифференциального уравнения и оценить погрешность:

y`=x-y; y(x=0)=1; на отрезке [0;0,5]. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ;

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ;

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ;

X X2 X3 X4 Y(1) Y(2) Y(3)
1, 1, 1,
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,9050 0,9098 0,9098
0,2 0,04 0,008 0,0016 0,8200 0,8397 0,8377
0,3 0,09 0,027 0,0081 0,7450 0,7855 0,7650
0,4 0,16 0,064 0,0256 0,6800 0,7494 0,7397
0,5 0,25 0,125 0,0625 0,6250 0,7292 0,7109

Для оценки погрешности каждого из приближённых решений вычислим.

n=1: x=[0;0,5]; y=[1;0,625]; f(x,y)=x-y; max|f(x,y)| =1=M;

f`y(x,y)=x-1; max|f`(x,y)|=1=N;

h=min(|x-x0|=0,5;|y-y0|=0,375)=0,375;

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru - погрешность первого приближения.

n=2: x=[0;0,5]; y=[1;0,7292]; M=1; N=1; h=min(0,5;0,2708)=0,2708;

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru -погрешность второго приближения.

n=3: x=[0;0,5]; y=[1;0,7109]; M=1; N=1; h=min(0,5;0,29)=0,29;

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru -погрешность третьего приближения.

Метод Эйлера – численный метод первого порядка точности.

Расчётная формула: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru где ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Оценку погрешности выполняют методом Рунге путём двойного просчёта: с шагом h – yn, и с шагом h/2 – y*n.. Пусть y(xn) – точное решение в точке xn, тогда погрешность в этой точке:

|y*n – y(xn)| < |y*n – yn| .

Пример. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка : y`=y – 2x/y c начальным условием y(x=0)=1 на интервале [0;1] c шагом h=0,2.

k xk yk F(xk,yk) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru yk yточное ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
1,0000 1,0000 0,2000 1,0000
0,2 1,2000 0,8667 0,1733 1,1832 0,0168
0,4 1,3733 0,7805 0,1581 1,3416 0,0317
0,6 1,5315 0,7458 0,1495 1,4832 0,0483
0,8 1,6811 0,7254 0,1458 1,6124 0,0687
1,0 1,8268     1,7320 0,0948

Метод Эйлера даёт грубое приближение к точному решению и по мере удаления от начальной точки погрешность растёт.

Усовершенствованный метод Эйлера 2-го порядка ( ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru )

Расчётная формула: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ; ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Здесь выполняется корректировка наклона интегральной кривой в средней точке каждого шага.

Погрешность оценивается методом Рунге путём двойного просчёта по формуле: |y*n – y(xn)| < 1/3|y*n - yn| . Причём погрешность следует вычислять для каждой точки приближённого решения c шагом h.

Пример. Решить дифференциальное уравнение из предыдущего примера усовершенствованным методом Эйлера.

k xk yk (h/2)fk xk+h/2 yk+(h/2)fk ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru yk yточное ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
1,0000 0,1 0,1 1,1000 0,1836 1,0000
0,2 1,1836 0,0846 0,3 1,2682 0,1590 1,1832 0.0004
0,4 1,3426 0,0747 0,5 1,4173 0,1424 1,3416 0,0010
0,6 1,4850 0,0677 0,7 1,5527 0,1302 1,4832 0,0018
0,8 1,6152 0,0625 0,9 1,6777 0,1210 1,6124 0,0028
1,0 1,7362         1,7320 0,0042

Трудоёмкость вычислений возросла – правая часть дифференциального уравнения вычисляется дважды.

Метод Эйлера-Коши 2-го порядка точности ( ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru )

Расчётная формула: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ;

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Погрешность оценивается по той же формуле, что и в усовершенствованном методе Эйлера, и правая часть дифференциального уравнения вычисляется дважды.

Пример. Решить дифференциальное уравнение из предыдущего примера

методом Эйлера-Коши.

k xk yk f(xk,yk) xk+h yk+hfk f(xk+h,yk+hfk) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru yk yточное ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
1,0 1,0000 0,2 1,2000 0,8667 0,1867 1,0000
0,2 1,1867 0,8497 0,4 1,3566 0,7669 0,1617 1,1832 0,0035
0,4 1,3484 0,7551 0,6 1,4994 0,6991 0,1454 1,3416 0,0068
0,6 1,4938 0,6905 0,8 1,6319 0,6515 0,1342 1,4832 0,0106
0,8 1,6280 0,6452 1,0 1,7570 0,6187 0,1264 1,6124 0,0156
1,0 1,7544           1,7320 0,0224

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 5, 4

Тема: Методы приближения функций

Пример 2.

Функция задана таблицей с равноотстоящими значениями аргумента. Найти значения y для x=1,217 и x=1,253.

xk yk ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru yk ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru 2yk
1,215 1,220 1,225 1,230 1,235 1,240 1,245 1,250 1,255 1,260 0,106044 0,106491 0,106935 0,107377 0,107818 0,108257 0,108696 0,109134 0,109571 0,110008 0,000447 0,000444 0,000442 0,000441 0,000439 0,000439 0,000438 0,000437 0,000437 -0,000003 -0,000002 -0,000001 -0,000002 0,000000 -0,000001 -0,000001 0,000000

В данном примере конечные разности первого порядка практически постоянны, а это приводит к тому, что конечные разности второго порядка близки к нулю.

Чтобы найти значение функции для аргумента x=1,217, находящегося вблизи начала таблицы, воспользуемся 1-ой формулой Ньютона и вычислим:

q =( 1,217 – 1,215 ) : 0,005 = 0,4

Подставляем в 1-ую формулу значения из первой строки таблицы:

y( x=1,217) = 0,106044 + 0,4 (0,000447) + (0,4 (-0,6): 2)(-0,000003)=

= 0,106044 + 0,000179 + 0,0000003 = 0,106223

Чтобы найти значение функции для аргумента x=1,253, находящегося вблизи конца таблицы, воспользуемся 2-ой формулой Ньютона и вычислим:

q =( 1,253 – 1,260 ) : 0,005 = -1,4

Подставляем во 2-ую формулу значения конечных разностей с диагонали таблицы:

y( x=1,253) = 0,110008 + (-1,4) 0,000437 = 0,110008 - 0,000612 = 0,109396

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Решение.

k Xk Yk XkYk Xk2 Ykтеор Yk-Ykтеор ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru (Yk-Ykтеор)2
66,7 67,50 0,20 0,0400
71,0 284,0 70,98 0,02 0,0004
76,3 763,0 76,20 0,10 0,0100
80,6 1209,0 80,55 0,05 0,0025
85,7 1799,7 85,77 - 0,07 0,0049
92,9 2694,1 92,73 0,17 0,0289
99,4 3578,4 98,82 0,58 0,3364
113,6 5793,6 111,87 1,73 2,9929
125,1 8506,8 126,66 - 1,56 2,4336
суммы 811,3 24628,6     5,8496

Общее уравнение прямой: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Система линейных уравнений, из которой следует определять наилучшие значения коэффициентов ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru и ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru , руководствуясь методом наименьших квадратов, имеет вид:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Подставим в систему уравнений вычисленные суммы из 2-го, 3-го, 4-го и 5-го столбцов последней строки таблицы:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Откуда определены коэффициенты линейной зависимости ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Значит уравнение теоретической прямой имеет вид:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru . (*)

В шестом столбце таблицы приведены вычисленные по теоретическому уравнению значений функции для заданных значений аргумента. В седьмом столбце таблицы приведены значения разностей между заданными значениями функции ( 3-ий столбец ) и теоретическими значениями ( 6-ой столбец ), вычисленными по уравнению (*).

В восьмом столбце приведены квадраты отклонений теоретических значений от экспериментальных и определена сумма квадратов отклонений. Теперь можно найти среднее квадратичное отклонение: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Пример 3. Пусть данные эксперимента, приведённые в таблице, аппроксимируются квадратичной параболой: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Найти наилучшие значения коэффициентов параболы, применив метод наименьших квадратов.

Решение.

k Xk Yk Xk2 Xk3 Xk4 XkYk Xk2Yk Ykтеор Yk-Ykтеор ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
29,8 29,28 0,52 0,2704
22,9 45,8 91,6 22,22 0,68 0,4624
17,1 68,4 273,6 17,60 -0,50 0,2500
15,1 75,5 377,5 15,56 -0,46 0,2116
10,7 85,6 684,8 11,53 -0,83 0,6889
10,1 101,0 1010,0 10,60 -0,50 0,2500
10,6 127,2 1526,4 11,06 -0,46 0,2116
15,2 228,0 3420,0 14,38 0,82 0,6724
Сум 122,5 731,5 7383,9     3,0173

Система линейных уравнений для определения коэффициентов параболы ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru имеет вид:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Из последней строки таблицы в систему уравнений подставляют соответствующие суммы:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Решение системы уравнений позволяет определить значения коэффициентов: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Итак, заданная таблицей зависимость на отрезке [0;15] аппроксимируется квадратичной параболой:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Расчёт по приведённой формуле для заданных значений аргумента позволяет сформировать девятый столбец таблицы, содержащий теоретические значения функции.

Сумма квадратов отклонений теоретических значений от экспериментальных приведена в последней строке 11-го столбца таблицы. Это позволяет определить среднее квадратичное отклонение:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3

Тема: Методы решения систем уравнений

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных – относится к группе точных методов, и если бы отсутствовала погрешность вычислений, можно было бы получить точное решение.

При ручных расчётах вычисления целесообразно вести в таблице, содержащей столбец контроля. Ниже представлен общий вариант такой таблицы для решения системы линейных уравнений 4-го порядка.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Свободные члены Столбец контроля
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
  ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
  ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Свободные члены Столбец контроля
    ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
    ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
      ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
      ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
        ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Пример 1. Методом Гаусса решить систему уравнений 4-го порядка:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Вычисления следует вести в таблице со столбцом контроля, образец которой приведён выше.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Свободные члены ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Столбец контроля
2 -1 -1 -1
0,5 4,5
  2 -1 -1,5 1,5 -1 -3 -1 3,5 -4 -5,5 -6 -6
  -0,75 -0,5 1,75 1,5
    0,75 0,75 -2,5 -1,5 -5,75 -3,75 -7,5 -4,5
    -3,33 -7,67 -10
     
        ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Пример 2. Найти корни линейной системы уравнений 3-го порядка:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Составляется аналогичная таблица для определения значений трёх

неизвестных корней системы уравнений.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Свободные члены Столбец контроля
-1 -1 -1 -1 -1 -1 11,33 15,33
-,167 -0,167 1,89 2,56
  5,83 -1,17 -1,17 5,83 33,9 43,9 38,6 48,6
  -0,20 5,80 6,60
    5,60 50,7 56,3
    9,05 10,05
      ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Эти приближённые значения корней можно подставить в исходную систему уравнений и вычислить невязки - ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru , являющиеся разностями между правой и левой частями каждого уравнения системы при подстановке в левую часть найденных корней. Затем подставляются в качестве свободных членов системы невязки и получают поправки

корней - ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru :

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Метод простой итерации

После приведения системы уравнений к каноническому виду выбирают «нулевое» приближение – обычно столбец свободных членов, и каждое новое приближение вычисляют по предыдущему, руководствуясь формулой: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Вычисления следует закончить, когда ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Пример 3. Методом простой итерации решить систему уравнений:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Условия сходимости (2) выполняются, значит, итерационный процесс будет сходиться. Приведём систему к каноническому виду, выразив ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru из первого уравнения, ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru из второго, ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru из третьего уравнения.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

За «нулевое» приближение примем столбец свободных членов:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Подставляем в систему уравнений вектор «нулевого» приближения – получаем первое приближение:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Продолжая этот процесс, получаем последовательность приближений:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Корни получены с точностью до 10-2: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru Из приведённой последовательности приближений видно, что приближённые значения корней колеблются вокруг точных значений.

Процесс уточнения корней можно продолжить, если задана более высокая степень точности.

Итерационный метод Зейделя

Для ускорения процесса уточнения корней предложено усложнить вычислительную процедуру, включая в вычисления на каждой итерации приближённые значения корней, полученные на текущей итерации. Этот приём позволяет нередко решать системы, которые не решаются методом

простой итерации.

Условия сходимости метода Зейделя те же, что и для метода простой итерации. Их необходимо проверять перед началом расчёта.

Схема расчёта представлена в следующей системе уравнений:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Расчёт следует продолжать до тех пор, пока не совпадут с заданной степенью точности два последовательных приближения каждого из корней системы уравнений.

Погрешность оценивается через нормы матрицы коэффициентов по формуле:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Пример 4. Методом Зейделя найти корни линейной системы уравнений с точностью до 10-3:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

В качестве «нулевого» приближения взят столбец свободных членов, а результаты расчёта по схеме Зейделя приведены в таблице.

Номер итерации   X1   X2   X3   X4
-1,6303 1,5583 -1,6935 0,3974
-1,8904 1,8797 -1,7887 0,3862
-2,0368 1,9768 -1,8190 0,3746
-2,0943 2,0027 -1,8271 0,3693
-2,1132 2,0085 -1,8289 0,3674
-2,1187 2,0095 -1,8293 0,3668
-2,1201 2,0095 -1,8292 0,3666
-2,1203 2,0094 -1,8292 0,3666
-2,1204 2,0094 -1,8292 0,3666
-2,1204 2,0094 -1,8292 0,3666

Уточнения корней продолжались до тех пор, пока у корня X1 не совпали значащие цифры в 9-ой и 10-ой итерациях, а корни X2, X3 и X4 определены с заданной точностью на предыдущих итерациях.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Метод касательных Ньютона

Расчётная формула: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Этот метод также требует сужения интервала изоляции до выполнения неравенства: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru . За нулевое приближение следует брать неподвижный конец интервала изоляции корня, иначе процесс приближения к корню будет расходящимся.

Расчётная таблица имеет следующий вид.

  ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Приме 2.. Найти корень нелинейного уравнения с точностью до 10-5 методом касательных: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru на интервале [-3;-2].

Решение.

На концах интервала изоляции функция имеет разные знаки: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ; знак второй производной ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru . Значит, неподвижным является левый конец интервала – точка ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru , который в методе касательных и станет нулевым приближением к корню ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Для выполнения неравенства ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru необходимо сузить интервал изоляции до [-2,31;-2,29], тогда ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru =58,0332, ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru =60,5919.

  ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru   ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
-2,310000 -2,302824 -2,302776 0,225663 0,001491 0,000000 -31,445564 -31,030526 -31,027757 -0,007176 -0,000048 -0,000000 -2,302824 -2,302776 -2,302776

Метод итераций

Этот метод требует приведения исходного уравнения к каноническому виду: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru . Тогда одношаговый итерационный процесс строится по формуле: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru при выборе любого нулевого приближения из интервала изоляции.

Главное - проверка соблюдения условий сходимости для канонического уравнения: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru - это обеспечит сходящийся итерационный процесс и получение значения корня уравнения с требуемой точностью за конечное число шагов.

Существует стандартный приём преобразования уравнения к каноническому виду, обеспечивающий сходимость итерационного процесса. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru . Знак ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru совпадает со знаком первой производной исходной функции. Итерации продолжают до тех пор, пока не будет выполнено условие:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru , где ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru - погрешность.

Если функция ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru возрастает, приближённые значения сходятся к точному значению корня монотонно, если же функция ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru убывает, то приближённые значения колеблются вокруг точного значения.

Пример 3.

Для функции ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru найти интервалы изоляции действительных корней и на каждом интервале привести исходное уравнение к каноническому виду, используя стандартный приём, и проверить выполнение условий сходимости итерационного процесса.

Решение.

Построение графика функции выявило два действительных корня уравнения на интервалах [-2;-1] и [1;2].

Для применения стандартного приёма преобразования уравнения к каноническому виду необходимо найти максимум первой производной:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Интервал [-2;-1] : ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Следовательно, положим ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru и знак совпадает со знаком ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Тогда правая часть канонического уравнения:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Проверим выполнение условия сходимости:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Интервал [1;2] : ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Следовательно, положим ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru и знак совпадает со знаком ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

Тогда правая часть канонического уравнения:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Проверим выполнение условия сходимости:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Таким образом, на каждом из интервалов условия сходимости выполняются для канонических уравнений, которые получены с помощью стандартной схемы преобразования исходного уравнения.

Пример 4. Найти корень нелинейного уравнения ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru на интервале [0,1;1] с точностью до 10-5.

Решение. Для приведения исходного уравнения к каноническому виду можно использовать стандартный приём, а можно попробовать выразить ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru из уравнения и проверить выполнение условия сходимости.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Сходимость итерационного процесса обеспечена, если ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru . Найдём первую производную от правой части канонического уравнения.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Вычислим значения производной на концах интервала ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru - условия сходимости выполняются, следовательно, итерационный процесс будет сходящимся.

Выберем начальное приближение ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru и последующие вычисления представлены в таблице. Расчётная формула: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru .

n ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru комментарий
0,95000000    
0,95909741 0,00909741 > ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
0,95755785 0,00153956 > ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
0,95781806 0,00026021 > ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
0,95777407 0,00004399 > ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru
0,95778151 0,00000744 < ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

Значение корня с точностью ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru =0,00001: ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8 - student2.ru

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Верные знаки числа

В приближённом числе цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы его разряда. Все предшествующие цифры этого числа тоже верные, а за последней верной цифрой следуют сомнительные.

Под числом верных десятичных знаков числа понимают число верных цифр после запятой.

Пример. Пусть все цифры чисел верные.

Числа Кол-во верных знаков Кол-во верных десят. Знаков
0,002405 27,034

Обычно в промежуточных вычислениях сохраняют кроме верных цифр 1-2 сомнительных, а в окончательном результате не более одной сомнительной цифры.

Разработка

практических занятий по дисциплине

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

с примерами решения задач по темам

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6. 7. 8

Тема: Приближённые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Наши рекомендации