Распределения Пуассона. Решение задач
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если вероятности ее возможных значений
вычисляется по формуле Пуассона, где a=np<10. Как правило, Пуассоновское распределение касается вероятности появления благоприятного события в большом количестве экспериментов, если в одном - вероятность успешного завершения стремится к нулю.
В табличной форме этот закон распределения имеет вид
Условие нормировки для пуассоновского закона распределения запишется следующим образом
Воспользовавшись зависимостями для определения математического ожидания М (Х) и дисперсии D (X)через производные от образующей функции в единице, получим их простые зависимости
1. Математическое ожидание определяется по формуле
2. находят дисперсию
Среднее квадратическое отклонение вычисляем через квадратный корень из дисперсии
Следовательно, для пуассоновского закона распределения вероятностей математическое ожидание и дисперсия равны произведению количества опытов на вероятность благоприятного события
На практике, если математическое ожидание и дисперсия близкие по значению то принимают гипотезу, что исследуемая величина имеет закон распределения Пуассона.
3. Асимметрия и эксцесс для пуассоновский закон также уровни и вычисляются по формулам
Рассмотрим несколько задач.
----------------------------------------
Задача 1. Микропроцессор имеет 10000 ранзисторов, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что транзистор выйдет из строя во время работы прибора, является величиной маловероятной и составляет 0,0007. Определить математическое ожидание М (Х) и среднее квадратическое отклонение S (Х)случайной величины Х — исла транзисторов, выйдут из строя во время работы процессора.
Решение. Задача удовлетворяет всем законам пуассоновский распределения:
количество испытаний n=10000 велика;
вероятность р=0,0007 близка к нулю;
их произведение a=np=7<10.
На основе данных вычисляем заданные величины
------------------------------------
Задача 2. В рыбацком городке 99,99% мужчин хотя бы раз в жизни были на рыбалке. Проводят социологические исследования среди 10000 наугад выбранных мужчин. Определить дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонени S (Х) случайной величины Х — числа мужчин, которые ни разу не были на рыбалке.
Решение. егко убедиться, что величина Х имеет пуассоновский закон распределения. С условия задачи находим
По формулам находим дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Можно найти в гугле еще много подобных задач, всех их объединяет изменение случайной величины по закону Пуассона. Схема нахождения числовых характеристик приведена выше и является общей для всех задач,
| НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ | |||||||||
2. Нормальный закон распределения. 2.1.Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал. Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях. Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется. Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т. е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию. Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т. д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения. Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.  Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид  где а и σ—некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения. Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид  Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, σ - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна  Выясним геометрический смысл параметров распределения а и σ . Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой. Рассмотрим свойства функции f(x): 1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось. 2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0. 3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции. 4°. Функция f{x) имеет в точке х = a максимум, равный  5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а. 6°. Нормальная кривая в точках х = а +σ имеет перегиб,  На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).
Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса. При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .
При изменении параметра изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением кривая стягивается к прямой х=а .
Использование формул f(x) и F(x) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим формулам можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и перейти к нормальному распределению с параметрами а=0, σ= 1. Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:
Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал (, ) воспользуемся функцией Лапласа: Перейдем к стандартной нормальной случайной величине
Тогда
Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)" . Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50). Решение: По условию: =10, =50, а=30, σ=10, следовательно,
По таблице находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность: Р(10 < Х < 50) =20,4772=0,9544. |
