Раздел. Комплексные числа. Алгебра многочленов.
47. Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексно-сопряжённое число. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая, показательная). Формула Эйлера.
48. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
49. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
50. Понятие многочлена, алгебраического уравнения. Основная теорема алгебры и теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Нахождение корней квадратного уравнения.
Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
1 – 10.Вычислить определитель:
а)непосредственным разложением по строке;
б)непосредственным разложением по столбцу;
Решение. а)вычисляем определитель разложением по элементам первой строки:
=
.
Тогда =
=
б)вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам
второго столбца:
=
.
Тогда =
=
.
Ответ:
.
11-20.Найти матрицу ,если:
,
.
Решение:
1)Транспонируем матрицу :
.
2)Вычисляем произведение матриц :
.
3)Находим матрицу :
.
4)Находим матрицу :
.
Ответ: .
21 – 30. Дана система уравнений: . Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
Решение.
А) Метод Крамера.
1а)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
.
2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
3а) Вычисляем определители :
,
,
.
4а) Находим решение: .
5а) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
Б) Метод обратной матрицы.
1б)Записываем систему уравнений в матричном виде:
или
2б)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
3б) Так как , то матрица системы
имеет обратную матрицу
и единственное решение системы определяется формулой:
или
4б)Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы):
.
Тогда .
5б)Находим решение:
.
6б) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
В) Метод Гаусса.
1в)Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице
треугольного или трапециевидного вида с элементами
. Система уравнений, матрица которой
является треугольной с элементами
, имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой
является трапециевидной с элементами
, имеет бесконечно много решений.
.В результате элементарных преобразований матрица
системы преобразована к специальному виду
. Система уравнений, матрица которой
, является треугольной с ненулевыми диагональными элементами
, имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.
Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрице
появляется строка
, где
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
3в)Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных:
.
4в) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
31-40.Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:
а) .
Решение.
1а)Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и
:
. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные
и
, тогда свободными будут неизвестные
и
.
3а)Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения:
,
, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных:
.
Тогда общее решение системы запишется в виде: .
4а) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
б) .
Решение.
1а)Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице
треугольного или трапециевидного вида с элементами
.
Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице
появляется строка
, где
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.
.
Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных и
:
. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные
и
, тогда свободными будут неизвестные
и
.
3б)Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения:
,
, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных:
.
Тогда общее решение системы запишется в виде:
4б) Выполняем проверку:
Ответ: .
в) .
Решение.
1в)Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
При выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице
появилась строка
, соответствующая уравнению
, которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных
, что говорит о несовместности исходной системы уравнений.
Ответ: Система несовместна.
41 – 50.Требуется:
а)найтисобственные числа и векторы матрицы .
Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы :
, а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу
, совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения:
, определяемым методом Гаусса.
Решение:
1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :
.
Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):
,
.
Таким образом, собственными числами матрицы являются:
и
.
2)Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам
и
.
2.1)Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу
:
или
,
записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе
, имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной
:
. Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную
, тогда свободными будут неизвестные
и
. Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения:
,
, где
,
, одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы:
. Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов
, отвечающих собственному числу
будет иметь вид:
.
2.2)Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу
:
или
,
записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе
, имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных
и
:
. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные
и
, тогда свободной будет неизвестная
. Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение:
, где
и выражаем через неё значения базисных неизвестных
и
из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения:
. Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов
, отвечающих собственному числу
, будет иметь вид:
,
.
Ответ: ,
,
,
;
,
,
.
б)исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).
Решение.
1)Записываем матрицу квадратичной формы: .
2) Проверяем является ли матрица невырожденной. Для этого вычисляем её определитель
и проверяем, равен ли он нулю:
. Так как
, то матрица
- невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра.
3)Вычисляем угловые миноры матрицы и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы:
,
,
. Так как выполняется условие:
,
,
, то по критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определена.
Ответ: Квадратичная форма положительно определена.
51 – 60.Даны векторы :
;
;
;
. Показать, что векторы
образуют базис
и найти координаты вектора
в этом базисе.
Решение.
1)Покажем, что векторы образуют базис
.Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.
.
Так как , то векторы
образуют базис
и, следовательно, вектор
единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.
2)Записываем разложение вектора по векторам базиса
:
или
.
Коэффициенты разложения ,
,
называют координатами вектора
в базисе
и записывают:
.
3)Записываем векторное уравнение относительно ,
,
в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений:
, и находим
единственное решение системы, например, по формулам Крамера:
, где
,
,
,
.
Таким образом: ,
,
. Следовательно, разложение имеет вид:
или кратко:
.
Ответ: .
61 – 70.Даны векторы :
,
,
. Требуется: а)найти векторы
и
; б)вычислить скалярное произведение
;в)найти проекцию вектора
на направление вектора
; г) найти векторное произведение
и его модуль
.
Решение.
a)Находимвекторы и
:
=
;
=
.
б)Вычисляем скалярное произведениевекторов :
.
в)Находим проекцию вектора на направление вектора
:
.
г)Находим векторное произведение векторов :
и вычисляем его модуль: =
.
Ответ: а) =
;
=
; б)
;в)
; г)
,
.
71-80.Даны вершины треугольника :
,
,
Требуется найти:
а)длину стороны ; б)уравнение стороны
;
в)уравнение медианы , проведённой из вершины
;
г)уравнение высоты , проведённой из вершины
;
д)длину высоты
; е)площадь
треугольника
.Сделать чертёж.
Решение.Сделаем чертёж:
а)Длинустороны находим как длину вектора
:
,
.
б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки
и
, и записываем его в виде общего уравнения прямой:
.
в)Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки
и
, и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки
находим как координаты точки, делящей сторону
пополам:
;
.
Тогда:
.
г)Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
, который принимаем за нормальный вектор прямой
. Тогда
д)Длину высоты
находим как расстояние от точки
до прямой
, заданной общим уравнением
:
.
е)Площадь треугольника находим по формуле:
. Откуда
.
Ответ: а)