Нахождение процентного отношения одного числа от другого.

· На сколько процентов число 4 меньше 5?

· На сколько процентов число 5 больше 4?

4. При решении многих задач удобно пользоваться формулой сложных процентов:

Здесь А_n- конечное значение изучаемой величины,

А₀- начальное значение изучаемой величины,

n – количество изменений,

p – количество процентов, на которое меняется изучаемая величина.

Если р₁=р₂=…=р_п, то

Примеры:

· Нахождение % от числа

Чтобы найти «к»% от числа В, делай так:

или В*

1) Какова величина подоходного налога, который составляет 13% от величины заработной платы в 25000 рублей?

Решение:

25000 – 100%

Х – 13%, Х=

2) Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько сушеных яблок получится из 300 кг свежих?

Решение:

1. Из условия следует, что при сушке теряется

300*0,84=252кг

2. 300-252=48кг

· Нахождение числа по данному проценту

Если известно, что а % числа «х» равны «в», то х= . Почему так?

Если а % - в, то 100% - х, тогда х =

Например:

Найдите число:

А) 40% которого равны 320; В) 8% которого равны 400

Решение: 40% -320

100% - х, х = .

В) Самостоятельно!

С) В спортивном магазине велосипед продается со скидкой 15% за 4500 рублей. Какова первоначальная цена велосипеда?

Решение

1. Из условия следует, что 4500–это 85% от первоначальной цены.

2. 4500 – 85%

Х – 100%, Х= рублей.

*. Нахождение процентного отношения одного числа от другого. Подумайте!

· На сколько процентов число 4 меньше 5?

· На сколько процентов число 5 больше 4?

· Формула сложных процентов

В декабре щуба стоила 35 тыс. рублей, в сезон цену повысили на 15%, а в мае снизили на 10%, в июле была распродажа со скидкой 20%. Сколько теперь стоит шуба?

Решение

1. Здесь: А₀=3500, р₁=15, р₂=10, р₃=20, n=3

(Если значение величины уменьшается на несколько %, то вместо « +» ставится « - »)

2.А₃= 35000*(1+ )*(1- )*(1- )=35000*1,15*0,9*0,8=

=20930 рублей.

Ответ: теперь шуба стоит 20930 рублей.

Заполните таблицу:

Обыкновенная дробь
Десятичная дробь
проценты

1.1.4.Индивидуальные задания-ИЗ-1

(Каждый студент выбирает номер варианта, равный остатку от деления порядкового номера по списку на число 6)

Вариант 1   1.Выполните действия с обыкновенными дробями: 2.Выполните действия с десятичными дробями: (1,6*2,43-2,43):((3,57-3,75)*0,81) 3.Вычислите: 4. Задачи «на проценты»:   – За активную общественную деятельность студенту увеличили стипендию на «а»%. Величина стипендии-450 рублей. Какую стипендию теперь получит активный студент? (Значение «а» выберите сами).   – В процессе интерактивного голосования на тему: Следует ли проводить экзамен в формате ЕГЭ? «к»% ответили: «Да». Это составило 22 457 человек. Сколько человек участвовало в голосовании? (Значение «к» выберите сами).   – Весной помидоры стоили 125 рублей. В июле цена снизилась на «с»%, в августе – на «в»%, а в октябре повысилась на «р»%. Какова цена помидоров в октябре? (Значение «с, в, р» выберите сами).	Вариант 2   1.Выполните действия с обыкновенными дробями: 2. Выполните действия с десятичными дробями: (2,4*0,49+0,49):((2,35-2,52)*9,8) 3.Вычислите: 4. Задачи «на проценты»:   – За активную общественную деятельность студенту увеличили стипендию на «а»%. Величина стипендии-450 рублей. Какую стипендию теперь получит активный студент? (Значение «а» выберите сами).   – В процессе интерактивного голосования на тему: Следует ли проводить экзамен в формате ЕГЭ? «к»% ответили: «Да». Это составило 22 457 человек. Сколько человек участвовало в голосовании? (Значение «к» выберите сами).   – Весной помидоры стоили 125 рублей. В июле цена снизилась на «с»%, в августе – на «в»%, а в октябре повысилась на «р»%. Какова цена помидоров в октябре? ( Значение «с, в, р» выберите сами).
Вариант 3   1.Выполните действия с обыкновенными дробями: 2. Выполните действия с десятичными дробями: 4*15*0,4*0,15:(0,005-0,041:0,2). 3.Вычислите:   4.Задачи «на проценты»:   – За активную общественную деятельность студенту увеличили стипендию на «а»%. Величина стипендии-450 рублей. Какую стипендию теперь получит активный студент? (Значение «а» выберите сами).   – В процессе интерактивного голосования на тему: Следует ли проводить экзамен в формате ЕГЭ? «к»% ответили: «Да». Это составило 22 457 человек. Сколько человек участвовало в голосовании? (Значение «к» выберите сами).   – Весной помидоры стоили 125 рублей. В июле цена снизилась на «с»%, в августе – на «в»%, а в октябре повысилась на «р»%. Какова цена помидоров в октябре? ( Значение «с, в, р» выберите сами).	Вариант 4   1.Выполните действия с обыкновенными дробями: 2. Выполните действия с десятичными дробями: (5,32*4,2-3,32*4,2)*((3,26-3,05):0,2-1,05) 3.Вычислите:   4.Задачи «на проценты»:   – За активную общественную деятельность студенту увеличили стипендию на «а»%. Величина стипендии-450 рублей. Какую стипендию теперь получит активный студент? (Значение «а» выберите сами).   – В процессе интерактивного голосования на тему: Следует ли проводить экзамен в формате ЕГЭ? «к»% ответили: «Да». Это составило 22 457 человек. Сколько человек участвовало в голосовании? (Значение «к» выберите сами).   – Весной помидоры стоили 125 рублей. В июле цена снизилась на «с»%, в августе – на «в»%, а в октябре повысилась на «р»%. Какова цена помидоров в октябре? ( Значение «с, в, р» выберите сами).
Вариант 5   1.Выполните действия с обыкновенными дробями: 2. Выполните действия с десятичными дробями: (3,81*4,3+6,19*4,3):((0,24-0,48)*0,5+3,57:3,5) 3.Вычислите: 4.Задачи «на проценты»:   – За активную общественную деятельность студенту увеличили стипендию на «а»%. Величина стипендии-450 рублей. Какую стипендию теперь получит активный студент? (Значение «а» выберите сами).   – В процессе интерактивного голосования на тему: Следует ли проводить экзамен в формате ЕГЭ? «к»% ответили: «Да». Это составило 22 457 человек. Сколько человек участвовало в голосовании? (Значение «к» выберите сами).   – Весной помидоры стоили 125 рублей. В июле цена снизилась на «с»%, в августе – на «в»%, а в октябре повысилась на «р»%. Какова цена помидоров в октябре? ( Значение «с», «в», «р» выберите сами).	Вариант 6   1.Выполните действия с обыкновенными дробями: 2. Выполните действия с десятичными дробями: (5,32*4,2-3,32*4,2)*((3,26-3,05):0,2-1,05) 3.Вычислите: 4.Задачи «на проценты»:   – За активную общественную деятельность студенту увеличили стипендию на «а»%. Величина стипендии450рублей. Какая стипендия теперь у активного студента? (Значение «а» выберите сами).   – В процессе интерактивного голосования на тему: Следует ли проводить экзамен в формате ЕГЭ? «к»% ответили: «Да». Это составило 22 457 человек. Сколько человек голосовало? (Значение «к» выберите сами).     – Весной помидоры стоили 125 рублей. В июле цена снизилась на «с»%, в августе – на «в»%, а в октябре повысилась на «р»%. Какова цена помидоров в октябре? ( Значение «с», «в», «р» выберите сами).

Из материалов ЕГЭ

Найдите значение выражений

Решите задачи

1.Сырок стоит 8 рублей 60 копеек. Какое наибольшее количество сырков можно купить на 50 рублей? [5]

2.Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5г 3 раза в день в течение 8 дней. В одной упаковке 8 таблеток по 0,25г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?[6]

3.Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила3 кг 500г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 1000 рублей?[720]

4.В пачке 500 лисов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1300 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 7 недель? [19]

5.Для остекления дверей требуется заказать 30 одинаковых стекол в одной из 3 фирм. Площадь каждого стекла 0,25 кв.м. В таблице приведены цены на стекло и резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена (руб. за 1 м2)	Резка стекла (руб. за 1 стекло)	Дополнительные условия
А			--------
Б			--------
В			При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно

Решение

Стекла требуется: 0,25*30=7,5(м²)

Фирма А: 300*7,5+25*30==3000

Фирма Б: 290*7,5+30*30=3125

Фирма В: 360*7,5=2700- самый дешевый заказ.

6.Для отделки лифтов требуется заказать 20 одинаковых зеркал в одной из 3 фирм. Площадь каждого зеркала 0,35м². В таблице приведены цены на зеркало, резку стекла и шлифовку краев. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена (руб. за 1 м2)	Резка и шлифовка стекла (руб. за 1 стекло)
А
Б
В

Ответ:6790

7. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Одновременно из пункта в пункт выехали грузовик, автобус и легковой автомобиль. Грузовик едет через пункт со средней скоростью 40 км/ч, автобус едет через пункт со средней скоростью 49 км/ч. По третьей дороге — без промежуточных пунктов — едет легковой автомобиль со средней скоростью 52 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам.
Какое транспортное средство доберётся до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно будет находиться в пути.

Решение

1. Известна зависимость между основными параметрами движения- пройденный путь, скорость, время:

2. Время грузовика: t =

3. Время автобуса:

4. Время легкового автомобиля:

Ответ: 2 часа45минут

8. Из пункта А в пункт М ведут 3 дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 32 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 48 км/ч. Третья дорога без промежуточных пунктов и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 56 км/ч. Из пункта А все автомобили выехали одновременно. Какой автомобиль доберется до М раньше других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

В

М

Ответ: 1,75

9. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2400 рублей, щебень-570 рублей за тонну, мешок цемента -220 рублей за мешок. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Решение

1.Для удобного обзора данных построим таблицу:

	Цена (руб.)	Бетонный	Из пеноблоков
Щебень, тонна			-------
Цемент, мешков
Пеноблоки, (м3)		------

2. Стоимость бетонного фундамента: 570*2+220*20=1140+4400=5540

3. Стоимость фундамента из пеноблоков: 220*4+2400*2=880+4800=5680

4. Ответ: 5540

10. Для строительства дачи можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или каменный. Для фундамента из камня необходимо 7 тонн камня и 7 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн щебня и 36 мешков цемента. Тонна камня стоит 1550 рублей, щебень-610 рублей за тонну, мешок цемента -250 рублей за мешок. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант? [12500]

11.В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 40 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ? [560]

Фирма	Подача машины, рублей	Продолжительность и стоимость минимальной поездки*, рублей	Стоимость минуты сверхпродолжительности минимальной поездки, рублей
		нет
	бесплатно	20 мин – 300
		15 ин - 250

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

12. Стоимость проездного билета на месяц составляет 580 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 20 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку? [240]

13. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада? [8]

14. Таксист за месяц проехал 6000 км. Цена бензина 20 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц? [10800]

15. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения? [15]

16. В доме, в котором живет Маша, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Маша живет в квартире №130. В каком подъезде живет Маша? [4]

17. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 рублей. Если на счете осталось меньше 16 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счете было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт? [43]

18. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 300 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся? [7]

19. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре? [150]

20. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа. [105]

! (Аналогичные задачи можно найти на сайтах:

· http//:mathege.ru

· открытый банк заданий по математике-2015

Действия со степенями

Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь. М. В. Ломоносов

Это интересно. Оказывается, древние греки умели возводить в квадрат и в куб. Названия для второй и третьей степени числа древнегреческого происхождения: «дюнамис» — квадрат, «кюбос» — куб.

Древний Вавилон. Вавилоняне пошли дальше: составили и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел, которыми мы пользуемся в настоящее время.

Это интересно. Широко используют степень астрономы, которым на каждом шагу приходится встречаться с огромными числами и еще производить с ними вычисления. Например, масса Солнца — .

Степени также используют в биологии, химии, без них не было бы вычислительной техники.

Древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия: «тысяча», «тьма», «легион», «леодр».

Вопросы:

1. Какое выражение называют степенью?

2. Приведите примеры степеней с различными основаниями.

3. Какие действия со степенями можно выполнять? Опишите правила действий со степенями.

1.2.1. терминология

Степень

– основание степени

– показатель степени

Определения степеней с различными показателями

1.Степень с натуральным показателем (n N)

2.Степень с отрицательным показателем (n N)

3.Степень с рациональным показателем (n,m N)

4. Степень с нулевым показателем

а0=1