Комплексные числа и действия с ними
Под комплексным числом в алгебраической форме записи понимается выражение где
и
– действительные числа, а
– мнимая единица, для которой справедлива формула
Числа вида отождествляются с действительными числами, числа вида
называются чисто мнимыми. Сопряженным числом
к числу
называется комплексное число
Два комплексных числа
и
равны, если
и
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующим образом.
1)
2)
3)
Примечание. Формулу умножения двух комплексных чисел не обязательно запоминать, так как она получается, если формально перемножить двучлены и
по обычному правилу умножения двучленов и затем заменить
на –1.
Примеры.
1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и
Находим сумму:
Умножим:
2. Найти частное комплексных чисел и
Для нахождения частного умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:
![]() |
Комплексное число можно изобразить точкой на плоскости
имеющей координаты
На оси
изображаются действительные числа, поэтому она называется действительной осью; на оси
расположены чисто мнимые числа; она называется мнимой осью.
Можно также сопоставить числу вектор, направленный из начала координат в точку
Длина этого вектора
, т.е. расстояние от начала координат до точки
называется модулем комплексного числа
и обозначается
Из рисунка находим Следовательно:
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Угол , образованный радиус-вектором
с положительным направлением действительной оси
называется аргументом комплексного числа
и обозначается
. В инженерных приложениях угол
также называется фазой. Величина угла
определяется с точностью до слагаемого
Главным называется значение
, удовлетворяющее условию:
.
Главное значение можно вычислить по следующим формулам:
Пусть – любое действительное число. Символом
обозначается комплексное число
С помощью этого обозначения всякое комплексное число
может быть записано в показательной форме (формула Эйлера):
Пример. Представить в тригонометрической и показательной форме комплексное число
Находим модуль Аргумент находим по формуле:
.
Следовательно
Пример решения работы
Задание №6. Решить матричное уравнение, сделать проверку.
.
Решение
Запишем данное уравнение в матричной форме:
, где
;
;
.
Преобразуем уравнение к виду и выполним действия с матрицами в правой части:
.
Обозначим полученную матрицу и запишем уравнение в виде
. Умножив обе части последнего равенства на
справа, получим:
.
Имея в виду, что , решением данного уравнения будет
, где
− матрица, обратная матрице
.
Найдём обратную матрицу так, как описано в разделе 2.1.1. на стр. 15, тогда
.
Найдем решение данного уравнения, умножив матрицу на матрицу
. Напомним, что одну матрицу на другую можно умножать тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В нашем случае матрица
имеет размер
, а матрица
−
, значит, произведение
имеет смысл (3=3), причем, при умножении получится матрица размера
.
По правилу умножения получим:
.
Итак, .
Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение:
.
Так как найденное решение обращает уравнение в тождество, то решение найдено верно.
Ответ: .
Задание №7. Дана функция , график которой проходит через три заданные точки
,
,
. Найти параметры
,
,
, решив получившуюся систему методом Гаусса, построить график функции
.
Решение
Подставим координаты заданных точек в уравнение :
Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными для нахождения коэффициентов ,
,
:
.
Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:
.
Выполним над этой матрицей необходимые элементарные преобразования. Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого умножим последовательно первую строку на , и на
и прибавим ее ко второй и третьей строке соответственно:
Разделим все элементы второй строки на , а третьей − на
:
Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого вторую строчку умножим на и прибавим к третьей:
Разделим третью строчку на 2:
.
Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, которая эквивалентна матрице , соответствует следующая система, равносильная данной:
Прямой ход метода Гаусса закончен. В результате обратного хода получим:
Таким образом, получаем решение системы: .
Сделаем проверку:
Так как все уравнения системы обратились в тождества, то решение верное.
Но тогда
.
− уравнение параболы с вершиной в точке
, которая проходит через три данные точки
,
,
, пересекает ось
в точке
, ось
не пересекает, так как уравнение
не имеет действительных корней.
Построим график функции .
Задание №8. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
.
Решение
Вычислим главный определитель системы:
.
Так как , то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера:
;
;
.
Вычислим вспомогательные определители:
.
.
.
Но тогда
;
;
.
Ответ: ;
;
.
Задание №9. Решить уравнение . Ответ представить в тригонометрической форме. Модуль вычислить с точностью до 0,01, а аргумент в градусах. Изобразить полученные числа на комплексной плоскости.
Решение
Очевидно, что из
.
Чтобы выполнить деление комплексных чисел, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на , получим:
.
Итак, . Очевидно, чтобы решить это уравнение надо найти все значения
. Обозначим
.
Известно, что корень n−й степени из комплексного числа имеет n различных значений, которые находятся по формуле:
,
где ;
.
Найдём тригонометрическую форму комплексного числа как описано в разделе 2.1.3.:
;
Тогда число в тригонометрической форме для нашего примера будет иметь вид:
.
Но тогда .
Полагая , найдем
или
или
или .
Изобразим полученные числа
,
на комплексной плоскости.