Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Функция F называется первообразнойдля функции f на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка суще­ствует производная F'(х), равная , т. е. .(3.1)

Пример 3.1. Найти первообразную для функции .

Решение.Функция есть первообразная для функции на промежутке , так как для всех .

Но функции также имеют производную, равную поэтому и все эти функции являются первообразными для функции на множестве R.

К выражению можно прибавить любую постоянную С. Поэтому решение задачи нахождения первообразной не единственно и, если решения существуют, то их бесконечно много.

Множество первообразных для данной функции называется не­определенным интеграломи обозначается , (3.2).

где - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - переменная интегрирования; С - константа.

Пример 3.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение

Интегрирование есть действие, обратное диф­ференцированию.

Неопределенные интегралы элементарных функций

Свойства неопределенных интегралов:

1.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

(3.3)

2.Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:

(3.4)

3.Вид интеграла не зависит от вида переменной интегрирования:

. (3.5)

или, что тоже самое,

,

где - функция, непрерывная вместе со своей производной.

4. Имеет место следующее равенство:

(3.6)

Методы интегрирования

I. Непосредственное интегрирование.

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для ре­шения табличные интегралы.

Пример 3.3. Найти

Решение.Воспользуемся свойством 2. интеграла: интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих же функций.

Пример 3.4.Найти

Решение.Приведем интеграл к табличному виду. Для этого раскроем скобки в числителе и разделим почленно числитель на знаменатель.

Затем воспользуемся указанным выше свойством интеграла суммы (разности) функций:

II.Метод подстановки.

Этот метод называют также методом замены переменной. Использование этого метода основано на свойстве 3 интеграла.

Пример 3.5. Найти

Решение.Введем новую переменную: .

Найдем интеграл:

Выразим результат через первоначальный аргумент:

Пример 3.6.Найти

Решение. Сделаем подстановку Надо определить, чему равен dx. Для этого продифференцируем выражение , в результате чего получим .

Подставим все это в первоначальный интеграл, в результате чего будем иметь:

Выразим результат через первоначальный аргумент:

Этот пример дает возможность сделать следующий общий вывод: .

III. Метод интегрирования по частям.

Использование этого метода основано на свойстве (4) интеграла:

Пример 3.7. Найти .

Решение. Обозначим .

Подставим полученные данные в первоначальное выражение:

Пример 3.8. Найти .

Решение.Интегрируем по частям

Тогда

Пример 3.9. Найти

Решение.Интегрируем по частям

Тогда .

Подставим значение интеграла из примера 3.8, получим