Дифференциал функции и его геометрический смысл

I Для перехода от неравномерных процессов к равномерным, истинное изменение какой-либо величины заменяют ее дифференциалом. Эта замена основана на том, что на протяжении малого промежутка времени всякий процесс приближается к равномерному.

Дадим общее определение дифференциала. Пусть дана функция , дифференцируемая в точке x.Это означает, что функция в точке x имеет производную, то есть существует предел , следовательно для функции выполняется равенство

,

где – бесконечно малая величина, то есть .

Умножив обе части этого равенства на , получим

. (1)

Здесь есть функция от и не зависит от . Следовательно, входит в первое слагаемое в первой степени (то есть линейно). Поэтому первое слагаемое представляет собой линейную часть приращения функции (про второе слагаемое этого сказать нельзя, так как зависит от ).

Тогда при вторым слагаемым можно пренебречь, и первое слагаемое будет являться главной частью приращения функции (исключая случай, когда ).

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком , то есть

. (2)

Для функции получаем , так как , откуда

. (3)

Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Из формул (2) и (3) следует, что

. (4)

То есть дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Пример: Найти дифференциалы следующих функций:

1) ; 2) ; 3) ;

Решение:

1)Воспользуемся формулой (4) и найдем производную функции :

. Таким образом,

Откуда, ;

Откуда,

Пример: Найти дифференциал функции в точке при .

Решение:

. Подставив в найденное выражение найдем нужное нам значение:

I Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график непрерывной функции .

Рис. 9

Производная функции в точке с абсциссой равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси , то есть

.

Из рисунка видно, что касательная разбивает приращение функции на два отрезка: , соответствующий в равенстве (1) слагаемому , и , соответствующий в равенстве (1) слагаемому .

Если (точка стремится занять положение ), то отрезок уменьшается значительно быстрее, чем отрезок .

Таким образом, приращение ординаты касательной является главной частью приращения функции . Из : находим , откуда . Далее: , а , то .

Итак, сформулируем геометрический смысл дифференциала:

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение .

ЛИТЕРАТУРА

1 Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1980. – Гл. 5. – ÍÍ1-13.

2 Доброхотова М.А., Сафронов А.Н. Функция, ее предел и производная. – М.: Издательство «Просвещение», 1969. – Гл. 6. – ÍÍ51-61, Í65. – Гл. 7. – ÍÍ67-75.

3 Зайцев И.А. Элементы высшей математики. – М.: Наука, 1974.

4 Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991. – Гл. 4. – ÍÍ3-7.

5 Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, часть I. – М.: Наука, 1987. – Гл. 6, Гл. 7. – ÍÍ34-39.

Содержание

§ 1 Задачи, приводящие к понятию производной………………………………….3

I Прямолинейное движение материальной точки

(задача о мгновенной скорости)………………………………………….……….3

II Протекание тока в электрической цепи

(задача о мгновенной величине тока)……………………………………………5

§ 2 Понятие производной функции………………………………………………….7

§ 3 Производная суммы, разности, произведения и частного функций…………11

§ 4 Сложная функция и ее производная……………………………………………15

§ 5 Производные элементарных функций………………………………………….16

I Производная логарифмической функции……………………………….………..16

II Производная степеннойфункции……………………………………….………...19

III Производная показательной функции………………………………….……….20

IV Производные тригонометрических функций…………………………………..21

V Производные обратных тригонометрических функций……………….……….24

§ 6 Геометрический смысл производной…………………………………………..31

I Определение касательной и нормали к кривой……………………………….…31

II Геометрический смысл производной……………………………………............33

III Уравнение касательной и нормали к кривой………………………….………..35

§ 7 Физический смысл производной…………………………………………….…39

§ 8 Вторая производная и ее физический смысл………………………………….40

§ 9 Дифференциал функции и его геометрический смысл……………………….42

I Геометрический смысл дифференциала………………………………………….43

Литература……………………………………………………………………...45

План 2005/2006, поз.

Шестакова Инга Александровна