Нечеткие множества: определение и формы записи в операциях и методах представления знаний

Заданы: дискретная область определения – аддитивный класс 2^Х в пространстве Х на универсальном множестве Х; область значения – отрезок [0,1] на множестве действительных чисел.

Аксиома 4: функция множества А называется функцией принадлежности μ, если для любых она отображает область определения на область значения:

μ: 2^X [0,1]. (1.10)

Каждому значению μ(x_i) дается одна из следующих понятийных интерпретаций {1,2,3}:

1) нечеткость суждения ;

2) субъективная совместимость x_i и A;

3) мера нечеткости x_i.

Обобщением данных свойств является понятие «нечеткость» (fuzzy) или принадлежность элемента x_i множеству A.

Аксиома 5: нечеткое множество НМ есть совокупность упорядоченных пар- элементов множества А и соответствующих им значений функции принадлежности:

{|x_i, μ(x_i)|}, (1.11)

где А ={ {x_i}}, i I {1,2,…n}.

Множество А называется носителем нечеткого множества.

На примере носителя А ={x₁,x₂,x₃} и значений функций принадлежности μ(x₁)= , μ(x₂)=μ₂, μ(x₃)=μ₃ приведем основные формы записи нечётких множеств:

А = {x₁, x₂, x₃}, (1.12)

μ_A = μ₁, μ₂, μ_3.

μ₁/x₁+μ₂/x₂+μ₃/x₃= _, (1.13)

. (1.14)

Каждое нечеткое множество может иметь многоуровневое представление в виде набора носителей, определенных для заданных значений μ:

_, (1.15)

где А_α – носитель уровня α, т.е. подмножество на области определения, для элементов которого , i {1,2,..n}, /- связка «при».

Например, если для нечетких множеств = {(x₁, 0.2), (x₂, 0.3), (x₃, 0.5)} заданы уровни представления α=0,2 и α=0,3, то получим А_0,2 = {x₁,x₂,x₃} и A_0,3 ={x₂, x₃}. Таким образом, данное нечеткое множество на уровнях 0,2 и 0,3 представлено 2-мя носителями: А_0,2 = {x₁,x₂,x₃} и A_0,3 = {x₂,x₃}.

К любому нечеткому множеству, равному {(x_i, μ_i)} с носителем А = { {x_i}} и

i I {1,2,…n}, можно добавить пару вида (x_k, 0), k {1,2,…n} и k≠i.

Такая процедура называется модификацией мощности носителя.

Базовые операции над нечеткими множествами с модифицированными носителями: нечеткое множество 1 есть {(x_i, μ_i)} и нечеткое множество 2 равное

{(x_i, )}, i {1,2,…n}, сводятся к вычислению функции принадлежности результата {1,2,3,4}:

1) дополнение , γ=1-μ_i;

2) разность НМ₁\НМ₂, γ=MIN(μ_i,1- );

3) пересечение (произведение) ∩ , γ= MIN (μ_i, );

4) объединение (сумма) , γ= (μ_i, ).

1.7. Функции доверия и правило Демпстера А.Р.,[23]

Заданы области: определения – аддитивный класс в пространстве на универсальном множестве X; значения – отрезок [0;1] на множестве действительных чисел.

A. Ограниченность – Bel(ø)=0, Bel(X)=1;

B. Супераддитивность – для m множеств X.

(1.16)

Понятийно Bel – это, по Г. Шеферу (G. Shafer) [24], мера доверия гипотезе, которой соответствует множество в аргументе функции.

Например, если имеется гипотеза: A есть одиночное множество {x₁} или {x₂}, или {x₃}, то A={x₁} {x₂} {x₃} и мера доверия этой гипотезе будет равна Bel(A).

Рассмотрим частный случай: на множестве ={x₁,x₂} определены и . Из супераддитивности функции доверия при m =2 следует:

Bel({x₁} {x₂}) Bel({x₁})+Bel({x₂})-({x₁} {x₂}). (1.17)

Из ограниченности функции доверия следует:

Bel({x₁} {x₂})=Bel(ø)=0,

Bel({x₁} {x₂})=Bel( )=1. (1.18)

Используя формулу (1.17), в случае равенства и (1.18), получим:

Bel({x₁})+Bel({x₂})=1. (1.19)

Из (1.19), с учётом {x₂}= {x₁}, вытекает:

Bel( {x₁})=1-Bel({x₁}) . (1.20)

Соотношение (1.20) называется нормирокой Bel.

Рассмотрим применение нормированной функции доверия для обработки данных.

В на x={x₁,x₂,…,x_i,…,x_n} определена Bel и результатом некоторого эксперимента или наблюдения в является факт, который известен в виде элемента x_i и его значения функции принадлежности μ_i, то есть, как нечёткое множество НМ={(x_i, μ_i)} с носителем {x_i}, принадлежит {1,2,…,n}.

Аксиома 7. Функция доверия с простым носителем:

Bel={0, при A не включаемом в {x_i}; μ_i при A, включенном в {x_i}; 1- при A= }, где - множество из гипотез {1,2,3}:

1) A есть любой элемент {x_j}, кроме {x_i}; (1.21)

2) A есть {x_i}, или любой другой элемент {x_j};

3) A есть универсальное множество X.

Рассмотрим теперь простейшую гипотезу: A есть однозначное множество {x_i}. Дополнительно к свойствам нечёткого множества, эта гипотеза интерпретируется как определение меры доверия факту с помощью соотношения (1.21): Bel ({xi})= .

Пусть теперь все экспериментальные данные сосредоточены на наборе, состоящем из двух фактов:

НМ={(x_i, μ_i), (x_j, μ_j)}с носителем {x_i} {x_j}, принадлежит{1,2,…,n}.

Аксиома 8:

Правило Демпстера: (композиция Bel({x_i}) и Bel({x_j})) при их объединении ({x_i} {x_j}), не равно X:

Bel({x_i}) Bel({x_j}) = . (1.22)

Выражение (1.22) определяет меру доверия двум фактам.

Если все экспериментальные данные сосредоточены на наборе, состоящем из m фактов НМ={(x_i, )} с носителем { {x_i}}, i I {1,2,…,n}, m=#I, то получаем композицию:

, (1.23)

Выражение (1.23) определяет меру доверия набору из m фактов.