Разбор заданий контрольной работы № 3

Тема 6. Предел последовательности. Предел функции, непрерывность функции.

Задача 1. а) Вычислить предел числовой последовательности

Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, поэтому дробь необходимо преобразовать. Сначала используем формулы сокращенного умножения

Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru

Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Для того, чтобы избавиться от неопределенности Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru поделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, т.е. на Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Получим, Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

б) Вычислить предел числовой последовательности Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. Для того, чтобы раскрыть неопределенность Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru преобразуем общий член последовательности Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru умножив и поделив его на выражение, сопряженное выражению в скобках Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru

Поделив числитель и знаменатель на старшую степень неизвестного, получим Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

в) Вычислить предел числовой последовательности Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. По определению число Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Преобразуем дробь и получим Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru

Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Задача 2.

1) Вычислить предел функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение.Используя основные теоремы о пределах видим, что Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru и Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Таким образом выражение Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru представляет неопределенность Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru при Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Чтобы раскрыть эту неопределенность числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя корни многочленов. Уравнение Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru имеет корни Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Уравнение Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru имеет корни Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Тогда Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

2) Вычислить предел функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. Так как числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при неограниченном возрастании аргумента, то выражение Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru представляет неопределенность Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . раскроем эту неопределенность поделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменного т.е. на Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Получим Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

3) Вычислить предел функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. Также как в предыдущем случае, неопределенность Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru и раскрываем ее аналогично. Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

4) Вычислить предел функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. Выражение Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru представляет неопределенность Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru при Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .для того, чтобы раскрыть эту неопределенность преобразуем дробь умножив сначала числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю

Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Затем аналогично умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное числителю исходной дроби Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru

Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Выполнив преобразования, вычислим предел, используя основные теоремы о пределах Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

5) Вычислить предел функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение. Убедимся, что выражение Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru представляет неопределенность вида Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Действительно Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru , а Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Преобразуем основание степени Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru , тогда вся степень может быть преобразована следующим образом Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Продолжим вычисление предела, используя свойство непрерывности функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

5) Вычислить предел функции Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение.Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru при Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Тогда Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Задача 3. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru .

Решение.На интервалахРазбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ruфункция непрерывна, поэтому исследовать ее на непрерывность нужно в точках Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Вычислим значения функции и ее односторонние пределы в данных точках.

а) В точке Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru , Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru , Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в данной точке, значит функция в точке Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru непрерывна.

б) В точке Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru , Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru , Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru . Односторонние пределы конечны, но не равны между собой, значит, функция в точке Разбор заданий контрольной работы № 3 - student2.ru имеет конечный разрыв (разрыв первого рода).


Наши рекомендации