Разбор заданий контрольной работы № 2

Тема 3. Основные понятия векторной алгебры.

Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве.

Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости.

Задача 1. Найти косинус угла между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, если известны координаты точек .

Решение. Найдем координаты векторов .

.

Угол между векторами найдем с помощью скалярного произведения векторов , где и , .

Тогда .

Площадь параллелограмма найдем с помощью модуля векторного произведения векторов .

и .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды

. Найти уравнение прямой , уравнение плоскости , уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , вычислить объем пирамиды и расстояние от точки до плоскости .

Решение. Найдем координаты векторов

.

Напишем уравнение прямой , проходящей через точку коллинеарно вектору : .

Для того, чтобы написать уравнение плоскости используем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . Раскрывая определитель, получаем уравнение

.

Упростим полученный результат, и находим уравнение плоскости : .

Нормальный вектор плоскости коллинеарен высоте пирамиды , а значит он является направляющим вектором прямой .

Таким образом, уравнение высоты имеет вид

.

Объем пирамиды вычислим используя геометрический смысл смешанного произведения: . Смешанное произведение вычислим как определитель третьего порядка составленный из координат векторов . Следовательно, объем пирамиды .

Расстояние от точки до плоскости можно вычислить, если воспользоваться формулой , где уравнение некоторой плоскости, а точка, не принадлежащая данной плоскости.

Тогда .

Задача 3. Даны координаты вершин треугольника

.

Найти: а) уравнение высоты ; б) уравнение медианы ; в) точку пересечения медианы и высоты ; г) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .

Решение.

а) Найдем координаты вектора . Т.к. высота , то является нормальным вектором для прямой , таким образом уравнение высоты имеет вид .

Упростим полученное уравнение и получим .

б) Вычислим координаты точки , как координаты середины отрезка . Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид .

Выполним преобразование полученного уравнения

.

в) Вектор коллинеарен искомой прямой, а значит служит для этой прямой направляющим вектором. Каноническое уравнение этой прямой имеет вид . Выполнив преобразования, получим .

Задача 4. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки на расстоянии в три раза большем, чем от прямой .

рис.1

Решение. Пусть точка принадлежит искомой линии. Тогда расстояние в три раза больше, чем расстояние . Составим уравнение и преобразуем его.

. Продолжим преобразования . Выделим полный квадрат по переменной и получим или . Получили уравнение гиперболы, центр которой находится в точке с , а полуоси .

рис.2